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Beitrag |
    
Caro
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Mai, 2000 - 10:35: | 
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Grüß Gott,
R^4: x=(1,1,1,1) y=(2,-4,11,1) z=(0,2,-3,0)
Nun soll eine Basis von L((x,y,z) bestimmt werden.
Außerdem soll die Folge x,y durch geeignete Einheitsvektoren des R^4 zu einer Basis des R^4 ergänzt werden.
Gibt´s da Vorschläge? |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Mai, 2000 - 12:17: |
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Hallo Caro,
Die Vektoren x,y,z sind linear unabhängig.
Sie sind deshalb eine Basis des (3-dimensionalen) Unterraumes L.
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Caro
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Mai, 2000 - 12:22: |
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Wie beweist man denn das? |
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Mai, 2000 - 13:24: |
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Hallo Caro nochmals,
ZWEITE FRAGE:
x=(1,1,1,1)
y=(2,-,4,11,1)
Gesucht ist eine Erweiterung mit Einheitsvektoren zu einer Basis in R^4.
Die Einheitsvektoren sind:
e1=(1,0,0,0)
e2=(0,1,0,0)
e3=(0,0,1,0)
e4=(0,0,0,1)
Wir schreiben nun x,y e1,e2,e3,e4 als Kolonnen einer Matrix:
1 2 1 0 0 0
1 -4 0 1 0 0
1 11 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1
Diese Matrix reduzieren wir nur und erhalten:
1 2 1 0 0 0
0 -6 -1 1 0 0
0 0 -5/2 3/2 1 0
0 0 0 -3/2 -1/3 1
Wir sehen, dass die ersten vier Kolonnen "Drehpunkte"
(ich weiß nicht wie dies auf Deutsch heißt.
Auf Englisch: "pivots")
enthalten; deshalb sind die ersten vier Vektoren
in der Ausgangsmatrix unabhängig und bilden eine Basis.
Die gesuchte Basis für R4 ist also:
x,y,e1,e2.
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Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 02. Mai, 2000 - 13:38: |
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Hi Caro,
ich habe deine neue Frage zu spät gesehen:
Wie man all dies genau beweist, weiß ich auch nicht.
Es gibt da so einen Satz:
Falls W ein Unterraum von Rn ist und Dimension(W)=k,
dann ist jeder unabhängige Satz von k Vektoren eine Basis von W.
Unser Unterraum L ist durch die Vektoren x,y,z gegeben, deshalb habe ich angenommen, dass seine Dimension=3 ist.
Streng genommen müsste dies in der Aufgabenstellung spezifiziert sein. |
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