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Bobs
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. April, 2000 - 14:22: | 
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Tach auch,
ein lustiges Problemchen liegt vor:
Beweise, dass alle Punkte , von denen aus zwei feste Punkte A und B unter einem rechten Winkel erscheinen, auf einer Kugel liegen.
Bobs |
franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. April, 2000 - 14:46: |
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Thales. |
reinhard (Gismo)
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. April, 2000 - 15:03: |
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Hallo Bobs!
Die zwei Fixen Punkte sind A und B. Wir haben einen beliebigen Punkt P, von dem aus A und B unter einem rechten Winkel stehen. (in der Skizze schwarz)
Nun machen wir folgendes (in der Skizze blau):
Wir verfollständigen das Dreieck zu einem Rechteck. Jetzt ist die Strecke AB die eine Diagonale und von P über M zum anderen Eck ist die zweite Diagonale.
Daß sich die Diagonalen in Rechtecken gegenseitig halbieren, dürft ihr wahrscheinlich voraussetzen.
Daraus folgt, daß die Strecke von A nach M genausolange ist, wie die von M nach B und die von M nach P.
für jeden beliebigen Punkt, von dem aus man A und B unter einem rechten Winkel sieht, gilt, daß er den konstanten Abstand AB/2 vom Mittelpunkt zwischen A und B hat. Und die Menge von Punkten, die einen konstanten Abstand von einem Fixpunkt haben, ist definitionsgemäß ein Kreis (oder im 3-Dimensionalen eine Kugel)
Reinhard |
Bobs
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. April, 2000 - 08:17: |
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Hallo Reinhard
besten Dank für die Lösung. Ich dachte das Problem wäre schwerwiegender.
Eine Frage noch: Wie hast du die Zeichnung erstellt oder besser gefragt womit?
Bobs |
Bobs
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. April, 2000 - 09:41: |
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Hallo nochmal,
es gibt da doch noch ein Problem.
Im zweiten Teil der Aufgabe sind die festen Punkte mit A(4/-2/5)und B(0/4/-3) vorgegeben. Es soll nun eine Gleichung dieser bewiesenen Kugel bestimmt werden.Ich glaube für diesen Teil der Aufgabe wäre es von Vorteil, wenn man den o.g. Sachverhalt rechnerisch und nicht mit einer Skizze beweist.
Seht ihr eine Möglichkeit dies zu tun?
Bobs |
reinhard (Gismo)
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. April, 2000 - 09:56: |
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Hallo Bobs!
Erstmal: Die Skizze habe ich mit Paint erstellt. Ich nehme jetzt mal einfach so an, daß du Windows als Betriebssystem benutzt. Du findest dann Paint in Start/Programme/Zubehör. Hier kannst du einfache Zkizzen zeichnen und als .bmp abspeichern. Da praktisch jeder Windows-benutzer auch das Office hat, brauchst du nur noch Microsoft Photo Editor starten, das .bmp-File laden und dann als .gif abspeichern, damit du es hier mitschicken kannst.
Für die Formel der Kugel brauchst du nicht einen ganzen neuen Beweis, sondern du übernimmst die Resultate des zeichnerischen Beweises.
Wir sind nämlich draufgekommen, daß der Kugelmittelpunkt genau der Mittelpunkt von A und B ist. Und der Radius der Kugel ist die halbe Strecke von A nach B.
Jetzt haben wir die Koordinaten von A und B, also können wir uns auch den Kugelmittelpunkt und den Radius ausrechenen.
Der Kugelmittelpunkt liegt genau zwischen A und B und ist somit (A+B)/2=[(4;-2;5)+(0;4;-3)]/2=(2;1;1)=M.
Der Radius ist die halbe Länge AB. Die Länge AB=|B-A|=|(0;4;-3)-(4;-2;5)|=|(-4;6;-8)|=Ö(4²+6²+8²)=Ö116. Die halbe Länge ist somit Ö116/2 = Ö116/Ö4 = Ö(116/4) = Ö29=r
Jetzt haben wir den Kugelmittelpunkt und den Kugelradius und können somit die Kugelgleichung schreiben:
[X-M]²=r²
[(x;y;z)-(2;1;1)]²=29
(x-2)²+(y-1)²+(z-1)²=29
Reinhard |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. April, 2000 - 14:29: |
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Hi Bobs,
Die Mentoren sollten mehr auf Franz hören !
Kaum hattest Du nämlich Deine Aufgabe mit dem rechten Winkel und der Kugel gestellt, hat sich F. als perfekter Souffleur betätigt und - wie es sich gehört- das richtige Stichwort gegeben: "Thales"
Ich möchte den damit angedeuteten Lösungsweg im nachhinein skizzieren und zwar aus drei Gründen
1. Die Aufgabe - da gibt es kaum Zweifel - ist vom Aufgabensteller ,wenn er
ein richtiger Schulmathematiker ist, von Anfang an so gemeint, dass die
Schüler den Satz von Thales einsetzen , auch im R3.
2: In den Sommerferien plane ich eine Reise an den Wirkungsort von Thales,
nach Milet in Kleinasien.
Um mich darauf einzustimmen, benütze ich, wo es immer angeht,
die Geometrie des Thales.
2. Die gezeigte Methode benötigt den kleinsten Rechenaufwand .
Also P( x / y / z ) sei der laufende Punkt der gesuchten Kugel..
A(4/-2/5), B(0/4/-3) sind die festen Punkte.
Die Bedingung für P lautet: die Vektoren AP und BP stehen aufeinander senkrecht, also ist ihr Skalarprodukt null.
Bilde die Koordinaten der genannten Vektoren:
Es kommt:
Für AP :[x-4;y+2;z-5] '
Für BP: [x; y-4; z+3] '
Skalarprodukt null liefert die Kugelgleichung (vereinfachte A,B,C-Form):
x^2+y^2+z^2 - 4 x -2 y - 2 z - 23 = 0
Bravo und
Freundliche Grüsse
H:R.,megamath. |
franz
| | Veröffentlicht am Freitag, den 28. April, 2000 - 21:40: |
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Übrigens: In welchem Verhältnis standen Thales und Pythagoras? F. |
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