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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. April, 2000 - 17:42: | 
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Hallo zusammen,
folgende Funktion soll in Partialbrüche zerlegt werden:
f(x)=(4+x^3)/((1-x^2)*((1+x)^2)))
1.) In der Literatur findet man ohne Erläuterung den Hinweis, das bei mehrfachen Nullstellen von N(x) ein Nenner des Partialbruches potenziert wird. Bezogen auf die Funktion oben gibt es einmal
den zusammengefassten Linearfaktor (x+1)^3. Warum potenziert man diesen dann nochmal?
2.) Meine Entwicklung führt auf einen Koeffizientenvergleich, dessen LGS lt. Computer unlösbar ist. Meine linaren Faktoren sind -(x-1)*(x+1)*(x+1)*(x+1). Was ist falsch?
3.) Ich habe hier im Board gelesen, das eine Entwicklung durch Reihen auch möglich ist. In welcher Literatur findet man die gesamte Reihenentwicklung (Taylor/MacLaurin & Co.) ausführlich für Nicht-Studenten erklärt? Habe selbst nur KUSCH, BD.3 "Differentialrechnung", finde aber, das die Autoren keinen guten Einstieg hierfür gewählt haben ....Empfehlungen?
4.) Gibt es eigentlich Einschränkungen in der alternativen Methode zum Koeffizientenvergleich, dem Nullsetzen der Linearfaktoren? Ist das Verfahren uneingeschränkt möglich? (Wäre schön, da schnell und sicher!)
Vielen Dank an alle Beantworter im Voraus! |
Ralf
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. April, 2000 - 18:26: |
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Hallo,
2)
Deine Faktoren sind richtig.
Ansatz:
f(x) = -a/(x-1) + b/(x+1) +c/(x+1) +d/(x+1)
Hast Du das gelöst bzw. zu lösen versucht? Oder hattest Du einen anderen Ansatz?
1)
Deine Frage verstehe ich nicht. Wo wird (x+1)3 nochmal potenziert?
3)
Bald (in ca. 2 Wochen) wird das Onlinebuch Mathe auf dem Server sein. Dort sind die Reihenentwicklungen drin.
Hier ist ein sehr ausführlicher Beitrag zum Thema und im Archiv findet sich noch veile mehr über die Reihen.
Wenn das zu kompliziert ist, frage nochmal nach.
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/25/1608.html
Buch? Hier ist passendes zum Thema, kannst ja mal die Klappentexte oder Rezensionen lesen. Kann Dir aber nichts genaues sagen, da ich die Bücher nicht kenne. vielleicht hat ja auch sonst noch jemand einen Tipp?
http://www.amazon.de/exec/obidos/external-search?tag=zahlreidematheha&keyword=folgen+und+reihen&catalog=de
4)
Bitte erkläre kurz die alternative Methode ... |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. April, 2000 - 19:56: |
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Salve Anonyme,
Die Faktorzerlegung des Nenners Deiner echt gebrochenen rationalen Funktion lautet, wie Du selber richtig bemerkt hast, so:
(1 - x ) * ( 1 + x ) ^ 3. Dies impliziert den folgenden Ansatz für die Partialbruchzerlegung:
f(x) = A / ( 1 - x ) + B / ( 1 + x ) ^ 3 + C / ( 1+ x ) ^ 2 + D / ( 1 + x )
Führt man die Addition durch gleichnamig machen der Brüche aus, und
vergleicht die Koeffizienten, so erhält man das folgende Gleichungssystem für A, B , C , D :
A + B + C + D = 4
3 A - B + D = 0
3 A - C - D = 0
A - D = 1
Die Lösungen sind : A = 5 / 8 , B = 3 / 2 , C = 9 / 4 , D = - 3 / 8 .
Voilà, c'est tout !
H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 17. April, 2000 - 20:19: |
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Hi Anonyme,
Es ist manchmal heilsam, mit einem Computer-Algebra-System der higher class die eigenen Versuche bei einer Partialbruchzerlegung zu kontrollieren.
Im vorliegenden Fall gelingt es z.B. Maple V ohne Umstände, die verlangte Zerlegung auszuführen.
Das nötige Kommando lautet:
convert (f, parfrac ,x);
Mit f:= (4+x^3) / ((1- x )*(1+x) ^ 3);
Viel Erfolg und freundliche Grüsse
H.R. |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. April, 2000 - 08:59: |
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Hallo H.R. Moser,
danke für die Beantwortung.
Allerdings bin ich etwas verwirrt, wo ist das Minus-Zeichen im Nenner geblieben? Und wieso wurde die Entwicklung
f(x) = A / ( 1 - x ) + B / ( 1 + x ) ^ 3 + C / ( 1+ x ) ^ 2 + D / ( 1 + x )
genaus so durchgeführt. Also warum wird (x+1) in absteigender Reihenfolge potenziert (3,2,1)?
Anschaulich klar wäre eine Vereinfachung beim mulitplizieren mit dem Nenner von f(x).
Vielen Dank im Voraus (bitte bis heute abend 24.00 Uhr) noch antworten (bin sonst im Urlaub und wollte die Aufgabe gerne noch mitnehmen!) |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. April, 2000 - 09:02: |
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Hallo H.R. Moser,
die Frage nach dem Minus-Zeichen ist (glaub ich) beantwortet. Es wurde doch bestimmt in (1+x)^2 "untergebracht" und quadriert, was dann letztendlich +1 ergibt und nicht mehr ins Gewicht fällt. Stimmts?
(Sorry, bin nach dem Abschicken der Nachricht oben drauf gekommen!) |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. April, 2000 - 09:46: |
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Hallo H.R.,
ich habe die Aufgabe von oben so übernommen, allerdings scheue ich mich davor, die Terme wie z.B. (x+1)^3 zwecks Koeffizientenvergleich auszurechnen, nicht weil ich es nicht kann, sondern weil der Rechenaufwand doch minimiert werden kann, indem man die linearen Faktoren gleich Null setzt. (empfehlen übrigens auch S.L. Salas und Einar Hille vom "Calculus"), allerdings mit dem Zusatz "wohlüberlegte" x-Werte dafür einzusetzen. Nun steht bei mir folgender Ausdruck:
4+x^3=-A(x+1)^3-B(1-x)-C(1-x)(1+x)-D(1-x)(1+x^2)
Ich wähle x=1 und im zweiten Schritt x=-1. Dafür erhalte ich dann
A=-5/8 und B=-3/2
So far so good. Jetzt bringt das Einsetzen von Nullstellen auch nichts mehr, dann wähle ich x=0 und erhalte
4 = - A - B - C - D (I)
und für x=2 dann
31= -27A + B + 3C + 9D (II)
Diese LGS zu lösen stellt ja dank A=-5/8 und B=-3/2 kein Problem dar.
Nach dem Umformen ergibt sich dann:
(I) 15/8 = - C - D
(II) 125/8 = +3C +9D
was allerdings nicht auf so "schöne" Lösungen wie von Ihnen führt, nämlich D=85/24 und C=-65/12
Was ist falsch?
Peter |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. April, 2000 - 09:50: |
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Sorry, da war der (Tipp)Fehlerteufel am Werk. Es heißt richtig:
4+x^3=-A(x+1)^3-B(1-x)-C(1-x)(1+x)-D(1-x)(1+x)^2 |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. April, 2000 - 11:15: |
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Kommando zurück! Gerade schaue ich auf den Zettel, da sehe ich was ich für einen Unsinn geschrieben habe. Es heißt natürlich nicht "31" in Gleichung II sondern 12. Hätte besser vorher frühstücken sollen. Jetzt stimmen auch die Lösungen mit denen von oben überein, auch der Symbolprozessor von MathCAD bestätigt dies.
Allerdings brauche ich noch eine Antwort darauf, warum der Linearfaktor (x+1) mit (x+1)^3, (x+1)^2 und (x+1) angegeben wird!
Bitte schnell antworten! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. April, 2000 - 16:28: |
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Hi Peter,
Als Wegzehrung für Deine Fahrt in den Urlaub möchte ich Dir ein kleines Vadetecum bezüglich Partialbruchzerlegungen mitgeben. Gute Reise !
Eine ausführliche Abhandlung zu dieser Sparte kannst Du dann später in diesem Forum erbitten. Vorläufig sollte das folgende Breviarium genügen.
Es ist übrigens auffallend, wie selbst Vollprofis in Mathe sich mit dieser Materie
schwer tun.
Zu Beginn müssen alle Prämissen dargelegt und beachtet werden.
Jede gebrochene rationale Funktion, in welcher der Grad des Zählers grösser oder gleich dem des Nenners ist (sog.unecht gebrochene Funktion) kann durch Division mit dem Nenner in die Summe einer ganzen rationalen Funktion (Polynom) und einer rationalen Funktion zerlegt werden, in welcher der Zählergrad kleiner als der Nennergrad ist. Die letztere Funktion heisst echt gebrochen und sei im folgenden mit f(x) = p(x) / q(x) bezeichnet.
Bevor f(x) in Partialbrüche zerlegt wird , muss darauf geachtet werden, dass f(x) , wie gesagt , echt gebrochen ist und dass p(x) und q(x) keine gemeinsamen Polynomfaktoren haben ; ist letzteres nicht der Fall, muss der gemeinsame Faktor weggekürzt werden.
Wir unterscheiden nun vier Hauptfälle
1. Die Nullstellen des Nenners sind alle reell und verschieden
Es sei q(x) = (x-a) (x-b) (x-c)...
Dann ist
p(x) / q(x) = A / ( x - a ) + B / (x - b ) + C / (x - c) +..
wobei ( in den folgenden Nennern stehen die Ableitungen von q(x))
A = p(a) / q' (a) , B = p(b) / q ' (b) , C = p(c) / q ' (c) , ..gilt.
A, B , C .. können aber auch durch den sog. Koeffizientenvergleich oder
durch Einsetzen geeigneter x-Werte gewonnen werden
2. q(x) habe reelle mehrfache Nullstellen
Es sei q(x) = ( x - a ) ^ r * ( x - b ) ^ s ..
Dann gilt :
p(x) / q(x) = A / ( x - a) ^ r + A1 / (( x - a ) ^ ( r -1)) +--- + Ar / ( x - a )
+B / ( x - b) ^ s + B1 / ((x - b ) ^ ( s-1 )) + .. + Bs/ ( x - b )
+..
3 q(x) habe komplexe voneinander verschiedene Nullstellen.
4 q(x) habe mehrfache komplexe Nullstellen
NB. Die Fälle 3. und 4. sollen später ausführlich besprochen werden
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Grundsätzlich und cum grano salis sind diese Zerlegungen alle eindeutig
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Wir kommen auf Dein Beispiel zurück.. Es ist unter die Fälle 1 und 2. Zu subsumieren. Wir erhielten nach gehöriger Vereinfachung die Beziehung:
4+ x^3 = A(1+x)^3 + B(1-x) + C(1-x^2) + D(1-x)(1+x)^2
Dies ist ein eine Identität bezüglich x , d. h . die Gleichung ist für alle x-Werte erfüllt.
Wir setzen nach Belieben x-Werte ein:
x = 0 : 4 = A + B + C + D
x = 1 : 5 = 8 A
x = -1 : 3 = 2 B
x = -2 : - 4 = - A +3B - 3C + 3D
Die Lösungen sind uns wohlbekannt !!
Zum Abschluss noch ein ganz einfaches Beispiel zum 2.Fall ,wo der nötige Ansatz durchsichtig gemacht werden kann.
f(x) = (4x+1) / (1-x) ^ 2 soll in Partialbrüche zerlegt werden:
Man sieht leicht ein , dass im Resultat zwei Koeffizienten A und B auftreten und zwar führt nur der folgende Ansatz zum Ziel, wenn beim Vergleich die ausgewachsene lineare Funktion 4x + 1 auftreten soll:
f(x) = A / (1-x) ^2 + B / ( 1 - x) , alle andern Ansätze sind unsinnig, z.B.
a /(1-x) + b/(1-x) und ähnliche Ungereimtheiten.
Resultat: A = 5 , B = - 4.
Schluss für heute !
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.
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