| Autor |
Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. April, 2000 - 15:00: | 
|
Ein Becher hat die Gestalt eines halben einschaligen Hyperboloides, dessen Basisdurchmeser 6cm, dessen Höhe 6*Wurzel aus 3cm und dessen oberer Durchmesser 12 cm beträgt. In dem Becher befindet sich eine Flüssigkeit deren Oberfläche bei Rotation des Bechers um seine Achse Paraboloidform besitzt. Dieses Paraboloid entsteht durch Drehen der Parabel x²=4y-7.
Berechne die Flüssigkeitsmenge in ml!
Bitte so schnell wie möglich! (Matura naht) |
franz
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. April, 2000 - 19:33: |
|
Die Bezeichnung "Durchmesser" und die Verwendung als Becher läßt vermuten, daß es sich um einschalige Hyperboloide mit kreisförmigen Querschnitten senkrecht zur y-Achse handelt. Aus der allgemeinen Gleichung (x/a)²+(z/b)²-(y/c)²=1 wird also in der y-x-Ebene (z=0) die Funktionsgleichung y(x)=c*WURZEL((x/a)²-1) respektive x(y)=a*WURZEL((y/c)²+1).
Sämtliche Werte verstehen sich in der Längeneinheit cm.
x(0)=a=!3, h=6*WURZEL(3)), x(h)=6, in x(y) einsetzen ergibt eine schlichte Gleichung für c, c=6, zusammen also der höhenabhängige Radius des Bechers B: xB(y)=3*WURZEL((y/6)²+1).
Die Flüssigkeitsoberfläche (y>0) hat F: xF(y)=WURZEL(4y-7). Wo ist der obere Rand, wo berührt die Flüssigkeitsoberfläche den Becher (y)? xB(y)=xF(y), Quadratische Gleichung für y.. yR=8.
Tiefster Punkt des Flüssigkeistspiegels bei x=0, also yT(0)=7/4.
Volumen = Bechervolumen V(B) von y bis yR minus "Luftvolumen" V(L) von yT bis Rand. Volumen der beiden Rotationskörper (r=x) jeweils INTEGRAL[y=y0..yR]pi*x(y)²dy.
V(B)=INTEGRAL[y=0..8 ]pi*3²*((y/6)²+1)dy,
V(L)=INTEGRAL[y=7/4..8]pi* (4y-7 )dy. Bitte mitrechnen!!
V=V(B)-V(L)=ca. 360 - 245 =115;
Spaßenshalber: Ein volles Glas ohne die Mätzchen V=INTEGRAL[0..6*WURZEL(3)]pi*3²*((y/6)²+1)dy, v=ca. 588 ;-)) F. |
|
