| Autor |
Beitrag |
    
Katharina (Katinka)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 19:57: | 
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Das Problem, welches sich mir jetzt stellt, baut auf den Aufgaben auf, die ich dank reinhards Hilfe nachvollziehen und lösen konnte. Die Aufgabe bezieht sich also auf die vorher erstellte Ebenengleichung der Ebene E: 2x+y-3z=3.
Ich komme aber mit der Aufgabe nicht völlig klar, also wäre es schön, wenn du mir nochmals helfen könntest.
Die Schnittgerade der Ebene E mit der xy-Ebene heiße s.
a)Bestimmen Sie eine Gleichung von s in Parameterform!
b)Zeigen Sie, daß der Punkt B(0/3/0) auf s liegt, und bestimmen Sie einen Punkt C auf s so, daß das Dreieck ABC rechtwinklig ist. |
reinhard (Gismo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 21:40: |
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a)
Die Gleichung der xy-Ebene ist z=0
zwei Ebenen zu schneiden geht folgendermaßen:
Man hat die zwei Gleichungen:
2x+y-3z=3
0x+0y+z=0
Also 2 Gleichungen für 3 Unbekannte. Also setzt man einfach eine der Unbekannten als eine Konstante.
x=t
dies ergibt dann:
y-3z=3-2t
0y+z=0
un haben wir 2 Gleichungen mit 2 unbekannten. zweite Gleichung mit 3 multiplizieren und dann sie zwei Gleichungen addieren:
y=3-2t
diese Ergebnis in die 3. Gleichung einsetzen:
z=0
Jetzt haben wir eigentlich alles ausgerechnet:
x=t
y=3-2t
z=0
Wenn man jetzt alles in einer Form schön untereinander schreibt und dann die Spalten zu Vektoren verbindet, ist man fertig
x=0+t*1
y=3+t*-2
z=0+t*0
s: (x;y;z)=(0;3;0)+t(1;-2;0)
b)
Daß B auf s liegt, ist bei unserer Gleichung für s offensichtlich: für t=0 einsetzen und das Ergebnis ist B.
Ich nehme an, der rechte Winkel soll in C liegen.
Es gibt 2 Arten, dieses Problem zu lösen: Man stellt eine Normalebene zur Geradens durch den Punkt A auf und schneidet diese beiden. Der Schnittpunkt ist C.
Ich werde aber einen anderen Weg gehen:
C muß auf der Geraden s liegen, also muß C die Geradengleichung erfüllen und folglich von der Form C=(t;3-2t;0) sein.
In C soll ein rechter Winkel sein, also die Seiten BC und AC sollen normal aufeinander stehen. Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt 0 ist. Ich bilde also das Skalarprodukt von AC und BC und setze es 0. Dann habe ich eine Formel, aus der ich das t ausrechnen kann.
AC=(t-1;-12-2t;4); BC=(t;-2t;0)
AC*BC=(t-1)t-2t(-12-2t)=0
t²-t+24t+4t²=0
5t²+23t=0
t=0 (geht nicht, da sonst C=B wäre) oder
5t+23=0
t=-23/t
also C=(-23/5;61/5;0)
Reinhard |
reinhard (Gismo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 21:44: |
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a)
Die Gleichung der xy-Ebene ist z=0
zwei Ebenen zu schneiden geht folgendermaßen:
Man hat die zwei Gleichungen:
2x+y-3z=3
0x+0y+z=0
Also 2 Gleichungen für 3 Unbekannte. Also setzt man einfach eine der Unbekannten als eine Konstante.
x=t
dies ergibt dann:
y-3z=3-2t
0y+z=0
un haben wir 2 Gleichungen mit 2 unbekannten. zweite Gleichung mit 3 multiplizieren und dann sie zwei Gleichungen addieren:
y=3-2t
diese Ergebnis in die 3. Gleichung einsetzen:
z=0
Jetzt haben wir eigentlich alles ausgerechnet:
x=t
y=3-2t
z=0
Wenn man jetzt alles in einer Form schön untereinander schreibt und dann die Spalten zu Vektoren verbindet, ist man fertig
x=0+t*1
y=3+t*-2
z=0+t*0
s: (x;y;z)=(0;3;0)+t(1;-2;0)
b)
Daß B auf s liegt, ist bei unserer Gleichung für s offensichtlich: für t=0 einsetzen und das Ergebnis ist B.
Ich nehme an, der rechte Winkel soll in C liegen.
Es gibt 2 Arten, dieses Problem zu lösen: Man stellt eine Normalebene zur Geradens durch den Punkt A auf und schneidet diese beiden. Der Schnittpunkt ist C.
Ich werde aber einen anderen Weg gehen:
C muß auf der Geraden s liegen, also muß C die Geradengleichung erfüllen und folglich von der Form C=(t;3-2t;0) sein.
In C soll ein rechter Winkel sein, also die Seiten BC und AC sollen normal aufeinander stehen. Dies ist der Fall, wenn das Skalarprodukt 0 ist. Ich bilde also das Skalarprodukt von AC und BC und setze es 0. Dann habe ich eine Formel, aus der ich das t ausrechnen kann.
AC=(t-1;-12-2t;4); BC=(t;-2t;0)
AC*BC=(t-1)t-2t(-12-2t)=0
t²-t+24t+4t²=0
5t²+23t=0
t=0 (geht nicht, da sonst C=B wäre) oder
5t+23=0
t=-23/t
also C=(-23/5;61/5;0)
Reinhard |
Katharina (Katinka)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. April, 2000 - 13:00: |
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Soweit hab ich das erstmal alles verstanden. Eines ist mir dann aber doch noch unklar: wie du auf BC kommst ist klar, aber wie kommst du auf
AC=(t-1;-12-2t;4)? |
reinhard (Gismo)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 16. April, 2000 - 21:20: |
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AC ist der Vektor von A nach C und wird berechnet mit C-A
C ist (t;3-2t;0) und A ist (1;15;-4)
C-A ist folglich (t;3-2t;0)-(1;15;-4)=(t-1;3-2t-15;0--4) = (t-1;-12-2t;4)
Reinhard |
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