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Katharina (Katinka)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 16:56: | 
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Ich komme mit folgenden Aufgaben nicht klar und brauche unbedingt sofort Hilfe!!!
In einem kartesischen Koordinatensystem sind der Punkt A(7/4/5) und die Geraden
g: vektor x= (2/2/1)+r(-1/2/0) und
h: vektor x= (1/3/-4)+s(1/1/1) gegeben.
Der Punkt A und die Gerade g liegen in einer Ebene.
1.Stellen Sie die Gleichung der Ebene E in Normalenform auf.
2.Zeigen Sie, daß die Gerade h und die Ebene E parallel sind und berechnen Sie den Abstand von h und E. |
reinhard (Gismo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 17:47: |
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Hallo Katharina!
1.
für eine Ebenengleichung in Normalform braucht man einen Punkt und einen Normalvektor. Einen Punkt haben wir ja schon (zB A), aber den Normalvektor müssen wir noch berechnen. Dies geht, wenn man zwei Richtungsvektoren der Ebene hat, dann bildet man einfach das Vektorprodukt.
Ein Richtungsvektor ist klarerweise der Richtungsvektor der Geraden (-1;2;0). Ein zweiter Richtungsvektor ist zum Beispiel der Vektor von einem Punkt der Gerden zum Punkt A, also (7;4;5)-(2;2;1)=(5;2;4).
Nun bilden wir das Kreuzprodukt:
n=(-1;2;0)x(5;2;4)=(8;4;-12)=4(2;1;-3)
Also schreiben wir die Ebenengleichung an:
E: nX=nA
(2;1;-3)(x;y;z)=(2;1;-3)(7;4;5)
2x+y-3z=14+4-15=3
2.
Wenn h parallel zu E ist, dann heißt das, daß der Richtungsvektor der Geraden normal zum Normalvektor der Ebene steht. Und dies kann man leicht überprüfen, indem man die zwei Vektoren skalarmultipliziert. Denn ist das Ergebnis dann 0, dann sind sie normal.
(1;1;1)(2;1;-3)=2+1-3=0
h ist also zu E parallel.
Den Abstand berechnet man am leichtesten mit Projektion: man ermittle einen Beliebigen Vektor von der Geraden h zur Ebene E: (7;4;5)-(1;3;-4)=(6;1;9). Diesen projezieren wir in den Normalvektor:
d=|(6;1;9)(2;1;-3)|/|(2;1;-3)|=14/wurzel(14)=wurzel(14)
Die Gerade h hat also den Abstand wurzel(14) von der Ebene E.
Reinhard |
Katharina (Katinka)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 18:10: |
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Ganz, ganz lieben Dank für deine Hilfe!
Katinka |
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