| Autor |
Beitrag |
    
HaJo
| | Veröffentlicht am Freitag, den 14. April, 2000 - 18:27: | 
|
Kann mir bitte jemand den Unterschied
zwischen " Dirichlet-Problem" und
"Neumann-Problem" erklären.
( Mit Partiellen DGL´s kann ich was anfangen.) |
Ralf
| | Veröffentlicht am Samstag, den 15. April, 2000 - 23:24: |
|
Hi,
kenne mich da nicht so aus, aber auf dem Referate-Server (Easybox-Mathe) auf der Hauptseite gibt es viele Ergebnisse bei einer entsprechenden Abfrage. Viel Glück!
Ralf |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 18. April, 2000 - 20:06: |
|
Hi,
Obschon die Inkubationszeit für diese Anfrage schon abgelaufen ist , möchte
ich einige Bemerkungen dazu anbringen., die hoffentlich ein wenig zur
Klärung der aufgeworfenen Frage beitragen können.
Als Quelle für meine Ausführungen dienten mir zwei ausgezeichnete Werke ,
in denen u.a. diese Probleme aus der Potentialtheorie besprochen werden.
1. Das Standardwerk in russischer Sprache : Lehrgang der Höheren Mathematik von W.I. Smirnow , Moskau 1953
2. Als Spezialliteratur : Dirichlet's Principle, Conformal Mapping, and Minimal Surfaces von R. Courant, New York 1950 (330 S.) .
Es geht um harmonische Funktionen U , welche in einem räumlichen oder
ebenen Gebiet (D) definiert sind und daselbst partielle Differentialgleichungen der Form Delta U = 0 erfüllen , wobei Delta der sogenannte Laplace - Operator ist ( Summe zweier oder dreier partieller 2. Ableitungen nach x x ,y y , bezw. nach x x , y y , z z ) .
Solche Differentialgleichungen treten auf in der Potentialtheorie (Gravitation, Anziehung elektrischer Ladungen ),in der Mechanik der Kontinua (Geschwindigkeitspotential bei wirbelfreien Strömungen),bei der Temperaturverteilung in homogenen Körpern, bei stationären elektromagnetischen Feldern etc.
Beim Prinzip von Dirichlet und beim Problem von Neumann handelt es sich um die Aufgabe, bestimmte Randbedingungen für die Funktion U zu erfüllen.
Das Dirichletsche Problem im Speziellen lautet so:
Gesucht wird eine Funktion U, die innerhalb des Gebietes (D) harmonisch und im Bereich (D) einschliesslich des Randes (S) stetig ist. Dabei ist (D) im R3 eine einzige geschlossene Fläche und im R2 eine einzige geschlossene Kurve.
Die Werte von U auf (S) ,und das ist das Wesentliche , sind vorgegeben
Die auf (S) vorgegebene Funktion muss natürlich stetig sein.
Diese Randbedingung wird in der Form U ¦ (S) = f(M) dargestellt, wobei
M ein variabler Punkt auf (S) ist.
Anders stellt sich der Sachverhalt beim Neumannschen Problem dar.
Wiederum ist die auf (D) harmonische Funktion U zu bestimmen , welche jetzt
am Rande wie folgt zu disponieren ist : es ist der Wert der Ableitung von U in der Normalenrichtung n zur Berandung vorgegeben: U partiell nach n = f(M) als Randbedingung ! "Dieses Problem tritt in der Hydrodynamik bei der Untersuchung der Bewegung eines festen Körpers in einer idealen inkompressiblen Flüssigkeit auf Die Randbedingung drückt dabei aus , dass
die Normalkomponenten der Geschwindigkeit des Punktes M auf der Körperoberfläche (S) und die Geschwindigkeit des an den Punkt M angrenzenden Flüssigkeitsteilchens übereinstimmen." (Zitat aus Smirnow¨).
Dass die harmonischen Funktionen inklusive Randbedingungen nach Dirichlet bei der Ermittlung von Minimalflächen (eingespannte Seifenhäute!) eine grosse Rolle spielen ,sei am Rande vermerkt
Hoffentlich ist der Unterschied der beiden Problemstellungen damit geklärt
Mit freundlichen Grüssen: H.R. Moser, megamath. |
HaJo
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. April, 2000 - 19:21: |
|
DANKE
H.R. Moser, megamath.
Jetzt weiß ich worum es geht. |
|
