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CosmoSonic
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. April, 2000 - 11:41: | 
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Folgendes Bsp.: Eine Funktion
f(x)=arctan((1+|x|)/(1-|x|)) ist im Intervall
]-1;+1[ Achsensymetrisch zur Y-Achse. Wie sieht die Symetrie der Intergralfunktion F(x)=(Intergral von 0 bis x)f(t) dt in diesem Intervall aus? Abivorbereitung! |
Ingo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 11. April, 2000 - 12:31: |
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Die Integralfunktion gibt ja die Fläche unter der Funktion an.In deinem Fall von 0 bis zum Wert x.Ist die Funktion symmetrisch zum Ursprung,dann ist die Fläche im Intervall [0;x] genauso groß,wie die Fläche von [-x,0] nur mit umgedrehten Vorzeichen.Da die Integralfunktion von 0 ausgeht,dreht sich das Vorzeichen wieder um und es kommt derselbe Wert heraus.
Bei Achsensymmetrie von f sieht das ähnlich aus : die Flächen sind gleich,links von der 0 muß das Vorzeichen umgekehrt werden,um die Fläche von [0,-x] zu erhalten,also ist die Stammfunktion Punktsymmetrisch zum Ursprung.
Falls das von der Erklärung her nicht so klar ist,kann man es natürlich auch konkret beweise :
(1)f(-x)=-f(x)
F(x)=ò0x f(t)dt
substituire s=-t => dt=-ds
F(x)=ò0-x -f(-s)ds
=-ò0-x f(-s)ds
=-ò0-x -f(s)ds
=ò0-x f(s)ds = F(-x)
(2)f(-x)=f(x)
F(x)=ò0x f(t)dt
substituire s=-t => dt=-ds
F(x)=ò0-x -f(-s)ds
=-ò0-x f(-s)ds
=-ò0-x -f(s)ds
=-ò0-x f(s)ds = -F(-x) |
CosmoSonic
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. April, 2000 - 13:02: |
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Danke,d.h., daß jede Stammfunktion F zu einer Achsensymetrischen Funktion f dann Punktsymetrisch ist und jede Stammf. F zu einer punktsymetrischen Funktin f dann Achsensymetrisch sein muß??? |
Ingo
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 12. April, 2000 - 21:54: |
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genau das heißt es.
Kann man sich auch so überlegen : Wenn du eine punktsymmetrische Funktion f hast und betrachtest deren Steigung,dann ist sie achsensymmetrisch,denn sie verhält sich im negativen Bereich genau so wie im positiven Bereich.Andernfalls wäre keine Punktsymmetrie der Funktion gegeben.
Der Beweis ist dann noch einfacher,als der Integrationsbeweis :
f(x)=f(-x) ergibt abgeleitet f '(x)=-f '(-x)
-f(x)=f(-x) ergibt abgeleitet -f '(x)=-f '(-x) |
Cosine
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 24. Mai, 2000 - 23:57: |
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Hallo Ingo!
Du hast die Frage von Cosmosonic, ob jede Stammfunktion F zu einer achsensymetrischen Funktion f dann punktsymetrisch ist und jede Stammf. F zu einer punktsymetrischen Funktin f dann achsensymetrisch sein muss , mit JA beantwortet.
Da wäre ich etwas vorsichtiger...
Es war nämlich gefragt, ob JEDE Stammfunktion einer achsensymm. Fnktn puntktsymm. ist und umgekehrt.
Beginnen wir mit dem ersten Teil:
1.) Wenn f achsensymm. ist, ist dann F auf jeden Fall punktsymm.?
Wenn mit "punktsymm." "symm. zum Urspung(0|0)" gemeint ist, dann ist das eindeutig mit Nein zu beantworten, da es nur genau eine Stammfunktion gibt, die ihren Symm.Punkt im Ursprung hat, die anderen sind ja um eine Konstante C nach oben oder unten verschoben.
Falls mit "punktsymm." allerdings ein beliebiger Symmetriepunkt gemeint ist, so ist dieser Teil des Satzes in Ordnung, dann allerdings ist der zweite falsch:
2.) Wenn f punktsymm. ist, ist dann F auf jeden Fall achsensymm.?
Das lässt sich leicht widerlegen, da ja bekanntlich jede Parabel 3.Ordnung punktsymm. zu ihrem Wendepunkt ist und jede Parabel 4.Ordnung als Stammfunktion einer Parabel 3.Ordnung angesehen werden kann. Nun ist aber leider nicht jede Parabel vierter Ordnung achsensymm, was sie aber sein müsste, wäre der Satz da oben richtig...
Daraus folgt: Wenn mit Achse die y-Achse und mit Punktsymm. der Ursprung gemeint ist, dann ist 2.) richtig und 1.) falsch; wenn mit Achse jede beliebige senkrechte Gerade und mit Punkt jeder beliebige Punkt gemeint ist, dann ist 1.) richtig und 2.) falsch.
Abgesehen von dieser Kleinigkeit, die ich einfach verbessern musste (tut mir aufrichtig leid), bin ich aber echt begeistert von diesem Mathe-Forum hier. Weiter so!
cu
Cosine |
ano
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 05. Dezember, 2000 - 21:29: |
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??? *kapiert nichts* ??? hauptsache ihr wisst wovon ihr redet!!! |
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