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r2d2
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. April, 2000 - 14:05: | 
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Hi,
ich soll folgende Aufgabe lösen:
Gegeben ist die Ellipse Z mit der Gleichung:
9x^2-36x+25y^2-150y+36=0
Geben Sie die Ellipsengleichung in der Form:
((x-c)^2)/a^2 + ((y-d)^2)/b^2 = 1 an, wobei M(c;d) der Schnittpunkt der Haupt- und Nebenachse ist.
Bestimmen Sie die Koordinaten der Brennpunkte.
An die Ellipse wird jeweils in den Punkten A(7;3) und B(x;0) eine Tangente angelegt. Geben Sie jedweils die Gleichung der Tangenten an und berechnen Sie den Schnittwinkel.
Für eure Hilfe besten Dank. (Bitte möglichst ausführlich!) |
reinhard
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 09. April, 2000 - 15:15: |
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Hallo r2d2!
Gegeben ist die Gleichung
9x²-36x+25y²-150y+36=0
wenn sie auf die Form
(x-c)²/a²+(y-d)²/b²=1 gebracht werden muß, dann formen wir die 2. Gleichung einfach ein bißchen um:
(x²-2cx+c²)/a²+(y²-2dy+d²)/b²=1 [*a²b²
b²(x²-2cx+c²)+a²(y²-2dy+d²)=a²b²
b²x²-2b²cx+b²c²+a²y²-2a²dy+a²d²=a²b²
b²*x² - 2b²c*x + a²*y² - 2a²d*y + b²c²+a²d³-a²b²=0
wenn diese gleichung mit der gegebenen Gleichung gleich sein müssen, dann müssen alle Koeffizienten gleich sein, daß heißt, die Zahl, die in der 1. Gleichung neben dem x² steht, muß dieselbe sein, wie die, die in der 2. Gleichung neben dem x² steht usw.
Alles in allem heißt daß:
b²=9
2b²c=36
a²=25
2a²d=150
b²c²+a²d²-a²b²=36
Da b²=9, muß b=3 sein
somit ist 2b²c=2*9*c=36, also c=2
Und mit a²=25 gilt a=5
und aus 2a²d=2*25*d=150 folgt d=3
Somit können wir schreiben:
(x-2)²/5² + (y-3)²/3² = 1
Die Brennpunkte liegen bekanntlich auf der Hauptachse und haben einen Abstand e vom Mittelpunkt, wobei e²=a²-b²=25-9=16 und somit e=4.
Der Mittelpunkt ist, wie bereits berechnet, (2;3). Weil a größer ist als b, liegt diese Ellipse in 1. Hauptlage und die Hauptachse ist parallel zur x-Achse. Das e müssen wir also zur x-Komponente addieren bzw subtrahieren, um die Brennpunkte zu berechnen:
F1=(2+4;3)=(6;3)
F2=(2-4;3)=(-2;3)
Der Ellipse soll im Punkt A(7;3) die Tangente angelegt werden. A ist der Hauptscheitel, ist also der äußerste Punkt der Hauptachse. die Tangente an den Hauptscheitel ist klarerweise normal zu derselbigen (zeichne Skizze) und ihre Steigung ist daher senkrecht. Eine senkrechte Gerade im R2 hat die Form x=d. Da der Punkt (7;3) auf dieser Geraden liegt, muß es heißen x=7. Und das ist die Tangentengleichung.
Ähnliches gilt für B=(2;0). Die Tangente an den Nebenscheitel ist waagrecht, die Gleichung also von der Form y=d. Und weil B auf eben dieser Geraden liegen muß, ist die Tangentengleichung y=0.
Hier ist nicht viel zu rechnen: wenn eine waagrechte und eine senkrechte Gerade sich schneiden, ist der Schnittwinkel 90°
Reinhard |
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