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Beitrag |
    
Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. April, 2000 - 13:49: | 
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Bittte löst mir noch dieses eine Beispiel!!
ALLE RECHENSCHRITTE BITTE AUFSCHREIBEN!!!
WIchtig!!
Danke schon mal!!!
Gegeben sind die Punkte A=( -1/7/3), B(-3/4/5),
C(-1/1/1), D(8/2/8).
a)Gib die gleichung der Ebene E durch A, B und C und ihre Sch nittpunkte mit den Koordinatenachsen an!
b)Berechne die längen AB und AC und den Winkel BAC.
c)Ermittle die Gleichung und die Länge des vom Punkt D auf die Ebene E gefällten Lotes, sowie die koordinaten des Lotfußpunktes F!
d)Berechne das Volumen der Pyramide ABCD!! |
reinhard
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 05. April, 2000 - 15:30: |
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Hallo!
a)
Für eine Ebene braucht man einen Punkt und einen Normalvektor. Den Punkt haben wir schon (wahlweise A, B oder C). Den Normalvektor bekommt man, indem man zwei Richtungsvektoren der Ebene bildet (AB und AC zum Beispiel) und aus diesen Vektoren das Vektorprodukt bildet.
ABxAC
(-2;-3;2)x(0;-6;-2)=(18;-4;12) = 2(9;-2;6)
da in dieser formel die Länge des Normalvektors keine Rolle spielt, kann ich die gekürzte Fassung nehmen.
E:nX=nA
9x-2y+6z=-5
Für die Schnittpunkte mit den Achsen gilt folgendes:
die X-Achse ist jene Gerade, wo y und z 0 sind, also
E:9x-0+0=-5
9x=-5
x=-5/9
Der Schnittpunkt ist somit(-5/9;0;0)
die Y-Achse ist jene Gerade, wo x und z 0 sind, also
E:0-2y+0=-5
-2y=-5
y=5/2
Der Schnittpunkt ist somit (0;5/2;0)
und nun darfst du raten, wie man auf den Schnittpunkt mit der Z-Achse kommt (Lösung: (0;0;-5/6))
b)
Die Vektoren AB und AC haben wir uns in a) ja schon berechnet. Für die Länge dieser Vektoren müssen wir nun die Norm ausrechen.
|AB|=|(-2;-3;2)|=wurzel(2²+3²+2²)=wurzel(17)
|AC|=|(0;-6;-2)|=wurzel(6²+2²)=wurzel(40)
für den Winkel gibt es die Formel:
cos(phi)=(AB*AC)/(|AB|*|AC|) = 14/(wurzel(17)*wurzel(40))=0,536875...
phi=57.5288°
c)
Für die Logerade brauchst du einen Punkt und den Richtungsvektor. Punkt ist (8;2;8) und da das Lot senkrecht auf die Ebene steht, ist der Normalvektor der Ebene auch der Richtungsvektor des Lotes, also
g:X=(8;2;8)+t(9;-2;6)
Nun berechnet man am besten den Fußpunkt des Lotes, indem man diese Gerade mit der Ebene schneidet:
9(8+9t)-2(2-2t)+a6(8+6t)=-5
72+81t-4+4t+48+36t=-5
121t=-121
t=-1
F=(-1;4;2)
Und die Länge des Lotes ist nun klarerweise wieder der Betrag von FD
|FD|=|(9;-2;6)|=wurzel(121)=11
c)
ich nehme ABC als Grundfläche, denn dann kennen wir die Höhe der Pyramide schon (nämlich die Länge des Lotes = 11). Nun brauchen wir noch die Fläche des Dreiecks ABC.
Wie du weiß, gibt die Norm des Vektorproduktes zweier Vektoren den Flächeninhalt des von diesen zwei Vektoren aufgespannten Parallelogramms, also gibt die halbe Norm den Flächeninhalt des Dreiecks.
Das Kreuzprodukt der Vektoren AB und AC haben wir ja schon berechnet: (18;-4;12) (hier unbedingt die ungekürzte Version nehmen) Die norm davon ist wurzel(484)=22. die halbe Norm ist somit 11 und genau das ist der Flächeninhalt des von AB und AC aufgespannten Dreiecks, also des Dreiecks ABC.
Das Volumen der Pyramide ist Grundfläche mal Höhe drittel = 11*11/3=40,33333333
Reinhard |
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