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Nicky (billie1983)
Junior Mitglied
Benutzername: billie1983
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 11-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. März, 2003 - 21:37: | 
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Hi,
ich bräuchte unbedingt Hilfe bei folgenden Aufgaben:
1)Zeige, dass A(12/0/0), B(12/8/6), C (2/8/6), D(2/0/0), S(7/16/-13) die Ecken einer quadratischen Pyramide sind und berechne ihr Volumen.
2)Bestimme einen Punkt, der von den Ebenen
E1: 2x1+2x2-x3-6=0
E2: 6x1+9x2+2x3+22=0
den gleichen Abstand hat.
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!!!
Nicky |
Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 136
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. März, 2003 - 21:47: |
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hallo nicky,
zu 1)
du stellst die vektoren AB und BC auf und berechnest deren beträge (=länge) und weist mittels skalarprodukt deren rechtwinkligkeit nach.
anschließend berechnest du den abstand von S zur ebene ABCD um die höhe h zu erhalten.
das volumen berechnet man folgendermaßen:
V = |ab|2 * h/3
zu 2)
da die kooeffizienten kein vielfaches voneinander sind, sind sie schonmal nicht parallel/identisch.
als einfachste lösung wäre die schnittgerade zu bestimmen, denn dort wäre der abstand zu beiden ebenen = 0 :-)
wenn du noch fragen hast, meld dich nochma!
mfg
kipping |
Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 137
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. März, 2003 - 21:59: |
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allerdings könntest du bei aufgabe 2), wenn du wirklich eine punkt mit abstand >0 haben willst, mit den winkeln arbeiten.
die beiden ebenen schneiden sich ein einem winkel g.
du berechnet den schnittwinkel mit den beiden normalvektoren.
um nun den normalvektor von der ebene zu erhalten, die alle punkte mit dem selben abstand enthält, musst du dieselbe formel für winkel anwenden, nur mit mit dem halben winkel und einem unbekannten normalvektor.
aus dem so errechneten normalvektor kannst du ganz leicht eine koordinatenform aufstellen und dir einen beliebigen punkt einsetzen...
ich hoffe, du konntest es verstehen!?
mfg |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 428
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. März, 2003 - 23:06: |
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Hi,
@Steve JK,
die Sache in deinem 2. Beitrag wird keinesfalls so wie von dir beschrieben funktionieren, und ich glaube kaum, dass du imstande wärest, dies so durchzurechnen. Si tacuisses ...
Wenn die (Winkel-)Symmetrieebene ermittelt werden soll, berechnet man von den beiden Normalvektoren der Ebenen den Winkelsymmetralenvektor:
E1: n1 = (2;2;-1), n1_0 = (1/3)*(2;2;-1) .. normiert
E2: n2 = (6;9;2), n2_0 = (1/11)*(6;9;2) .. normiert
Normiert heisst: Auf die Länge 1 gebracht, d.h. der Vektor wurde durch seinen Betrag dividiert.
Es ergeben sich nun zwei Winkelsymmetralen-Vektoren (die aufeinander senkrecht stehen):
w1 = n1_0 + n2_0
w1 = n1_0 - n2_0
------------------
w1 = (1/3)*(2;2;-1) + (1/11)*(6;9;2) = (1/33)*(40;49;-5)
w2 = (1/3)*(2;2;-1) - (1/11)*(6;9;2) = (1/33)*(4;-5;-17)
w1, w2 lassen sich noch verlängern, also sind sie ohne den Faktor 1/33 zu verwenden.
Mit der Schnittgeraden der beiden Ebenen bildet je einer dieser Vektoren die betreffende (Winkel-)Symmetrieebene.
Gr
mYthos
(Bei Bedarf morgen mehr ...)
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Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 139
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. März, 2003 - 23:17: |
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hallo mYthos,
danke für dein einwand, sonst hätte ich hier noch jem in die irre geführt.
ich werde aber gleich probieren, ob das wirklich nicht funktioniert...wüsste jetzt spontan nich, warum!?
aber zu deiner lösung habe ich eine frage:
was sind denn überhaupt winkelSYMMETRALE-vektoren?
habe davon leider noch nichts gehört...
aber es leuchtet ein, wenn man die normalvektoren addiert, dass man dann die winkelhalbierende bekommt...
nennt man einfach diesen richtungsvektor der winkelhalbierenden so?
mfg |
Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 140
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 23. März, 2003 - 23:32: |
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ja gut...das führt dann auf eine gleichung mit 3 unbekannten.
schade!
hätte ich mir wohl vorher genauer überlegen sollten, trotz der mir so einsichtigen theorie.
danke dir nochmal, schließlich lernt man aus fehlern ja auch.
mfg
kipping |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 429
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. März, 2003 - 14:50: |
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Hallo Steve,
es ist schon ok, es stimmt ja, dass man erst aus Fehlern lernt; dein Gedankengang war an sich schon richtig, nur dessen rechnerische Ausführung versagt hier, weil sich das Ganze in R3 (R3 = dreidimensionaler Raum) abspielt. Wenn du nun den halben Winkel ausgerechnet hast, gibt es wegen der Räumlichkeit unendlich viele Vektoren, die diesen Winkel mit einem der beiden Normalvektoren einschliessen. Du müssest das Ganze daher in einer Ebene der beiden Normalvektoren ausführen und das macht die Rechnung dann verhältnismäßig aufwändig.
Der Vorgang zur Berechnung der Winkelsymmetralen ist in R3 derselbe wie in R2. In R2 bekommst du die "echte" Winkelsymmetrale (durch Addition der normierten Vektoren, die dann nämlich einen Rhombus bilden, deshalb halbiert dann der Summen- oder Differenzvektor der beiden Vektoren den von ihnen eingeschlossenen Winkel), in R3 ist die Winkelsymmetrale der beiden Normalvektoren der gegebenen Ebenen der Normalvektor auf die Winkel-Symmetrieebene. Alle Punkte in dieser haben von den beiden Ebenen den gleichen Normalabstand.
Es gibt auch eine andere Methode zur Bestimmung der Winkel-Symmetrie-Ebene, nämlich die mittels der Hesse'schen Normalform, sie führt direkt zu den gesuchten Ebenen:
E1: (2x1 + 2x2 - x3 - 6)/3 = 0 (HNF)
E2: (6x1 + 9x2 + 2x3 + 22)/11 = 0 (HNF)
-----------------------------------------
Alle Punkte X(x|y|z) der gesuchten (zwei) Symmetralebenen haben nun die Eigenschaft, dass sie von E1 und E2 gleich weit entfernt sind (|d1| = |d2|)
(2x1 + 2x2 - x3 - 6)/3 = d1 (X,E1)
(6x1 + 9x2 + 2x3 + 22)/11 = d2 (X,E2)
-------------------------------------
(2x1 + 2x2 - x3 - 6)/3 = (6x1 + 9x2 + 2x3 + 22)/11, bzw. als 2. Lösung
(2x1 + 2x2 - x3 - 6)/3 = -(6x1 + 9x2 + 2x3 + 22)/11 |*33
-------------------------------------------------- ------
SE1: 4x1 - 5x2 - 17x3 = 132
SE2: 40x1 + 49x2 - 5x3 = 0
Die Koeffizienten dieser Gleichungen sind exakt die Komponenten der beiden in der 1. Methode erhaltenen Winkelsymmetral-Vektoren.
Gr
mYthos
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Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 142
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 24. März, 2003 - 15:07: |
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danke dir für deine ausführliche erklärung, mYthos!!
die methode mit der HNF war mir auch neu, aber die ist natürlich auch nicht schlecht!
ich denke, jetzt habe ich es verstanden und verinnerlicht, dass ich diesen fehler nicht mehr mache.
aber eine frage hab ich noch zu der methode, wie ich sie mir gedacht habe:
ist wahrscheinlich eher eine allgemeinere frage:
wenn ich eine gleichung mit 3 unbekannte habe, wie ich sie bei mir hätte, ist es dann nicht möglich, 2 variablen frei zu wählen bzw. eine konstante k zu definieren, mit der beide in beziehung stehen? so würde man doch ein allgemeines ergebnis bekommen, oder nicht?
die frage scheint mir selbst auch grad sehr merkwürdig, würde mir aber gewissheit verschaffen.
danke dir nochmal,
mfg
kipping
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 430
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 25. März, 2003 - 22:16: |
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Hi,
wegen der andauernden Serverprobleme warte ich noch mit der Antwort!
Bis dann,
Gr
mYthos
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mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 434
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 30. März, 2003 - 13:47: |
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Hi!
Leider stimmt infolge des Desasters bei Zahlreich der Link zu dem ggst. Thread nicht mehr (ich finde es eigentlich unverantwortlich, was die dafür Zuständigen da aufführen), sodass ich einige Zeit gebraucht habe, den Thread wieder zu finden!
Natürlich kannst du den Ansatz wie von dir beschrieben machen, aber bedenke dann, wieviele Freiheitsgrade die in Frage kommenden Lösungsvektoren haben können! Denn ausser den bestimmten (vorgegebenen) Winkel zu N einzuhalten, gibt es keine weitere Bedingung.
Vektor N(n1;n2;n3) bekannt, Winkel a zwischen N und X, X(x;y;z) gesucht:
cos(a) = (N.X)/(|N|*|X|)
cos(a)*|N|*sqrt(x² + y² + z²) = n1*x + n2*y + n3*z ->
setze |N|*cos(a) = sqrt(c) (const)
cx² + cy² + cz² = n1²x² + n2²y² + n3²z² + 2n1*n2*xy + 2n2*n3*yz + 2n1*n3*xz
Diese Bedingung müssen die Komponenten des gesuchten Vektors X erfüllen.
Man erkennt: Dieser Vektor X beschreibt nun eine Kegelfläche mit dem Öffnungswinkel 2a zur Achse N. Dies kommt auch in der Gleichung 2.Ordnung in x,y,z zum Ausdruck.
Jedenfalls führt dies zunächst nicht zu einer eindeutigen Lösung, der Kegel müsste dann mit den Ebenen bzw. der Schnittgeraden weiter verarbeitet werden, was hier infolge der Komplexität der weiteren Rechnung sicher nicht Sinn der Sache ist ...
Gr
mYthos
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Steve JK (f2k)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: f2k
Nummer des Beitrags: 147
Registriert: 12-2001
| | Veröffentlicht am Montag, den 31. März, 2003 - 09:47: |
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hallo mYthos,
das mit dem server ist echt nicht lustig! jetzt bekomm ich schon gar keine nachrichten mehr, wenn ein neuer thread eingegangen ist :-/
naja, jedenfalls danke ich dir für deine ausführungen!
die sache mit dem kreis finde ich sehr interessant, ist mir vorher gar nicht klar gewesen!
heisst das, dass sich alle lösungen, abhänging von den parametern, auf einer kreisfläche befinden?
dass das sehr kompliziert und aufwendig wird, war mir klar! auch dass man keine konkrete lösung bekommt.
mir gings auch nur um die theorie...
mfg
kipping |
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