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Beitrag |
    
h (serie)
Junior Mitglied
Benutzername: serie
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. März, 2003 - 14:15: | 
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hei
man bestimme die lösungsgesamtheit folgender DGLen durch variablenseperation:
1. y'sin(x)-ycos(x)=0
2. (1+e^x)yy'=e^x
3. (1+y')e^(-y)=1 |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1063
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. März, 2003 - 14:50: |
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Hi!
1. dy/dx*sin(x)=y*cos(x)
<=> dy/y=cos(x)/sin(x)*dx
<=> ln(y)=ln(sin(x))+ln(C)
<=> y=C*sin(x)
Genau genommen müsste ich beim Integrieren in den ln noch Beträge schreiben. Durch das C kann ich die aber weglassen, weil C alle reellen Zahlen annimmt. Wird auch in den nächsten Teilen noch vorkommen.
2.
(1+ex)y*dy/dx=ex
<=> y dy=ex/(1+ex)*dx
<=> 1/2*y²=ln(1+ex)+C
<=> y²=2*ln(1+ex)+2C
<=> y=±sqrt(ln(1+ex)+2C)
3.
(1+dy/dx)e-y=1
<=> 1+dy/dx=ey
<=> 1/(ey-1)*dy=dx
<=> ln(ey-1)-ln(ey)=x+ln(C)
<=> ln(1-1/ey)=x+ln(C)
<=> Cex=1-1/ey
<=> y=ln(1/(1-Cex))
Falls du noch Fragen hast meld dich nochmal.
MfG
C. Schmidt |
h (serie)
Junior Mitglied
Benutzername: serie
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 12-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. März, 2003 - 09:11: |
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hallo
danke für deine antworten, habe da aber no ein problem bei der letzten aufgabe. wie kommst du von 1/(e^y-1)*dy=dx auf die ln's? wieso ist es auch x + ln(C) und nicht bloss x+C?
bei nummer 2 habe ich auch noch ein problem, warum steht unter der wurzel bloss noch ln(1+e^x)+2C und nich 2*ln(1+e^x)+2C? |
Christian Schmidt (christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 1068
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 21. März, 2003 - 11:43: |
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Hi!
Also zunächst einmal zur 2. Da hast du natürlich recht, da muss noch die 2 stehen. Ich wollte die eigentlich noch in den Logarithmus bringen, hatte es dann aber wohl vergessen.
wieso ist es auch x + ln(C) und nicht bloss x+C?
Das liegt ganz einfach daran, dass ln(C) auch alle reellen Zahlen durchläuft, wenn C alle positiven reellen Zahlen annimmt. Und warum ich ln(C) statt C genommen habe, liegt halt einfach daran, dass dadurch das Endergebnis schöner wird.
wie kommst du von 1/(e^y-1)*dy=dx auf die ln's?
Es geht wohl darum die linke Seite zu integrieren, d.h.
òdy/(ey-1)
Dazu substituieren wir zunächst
z=ey-1
=>
dz/dy=ey=z+1
<=> dy=dz/(z+1)
Das setzen wir jetzt mal alles in unser Integral ein und erhalten:
òdy/(ey-1)=òdz/(z*(z+1))
Das integral lösen wir jetzt mit Partialbruchzerlegung.
A/z+B/(z+1)=1/(z(z+1))
<=> A(z+1)+Bz=1
<=> (A+B)z+A=1
Daraus folgt A=1 und B=-1.
Also können wir unser Integral wieder umschreiben:
òdz/(z*(z+1))=ò(1/z-1/(z+1))*dz
=ln(z)-ln(z+1)
Rücksubstitution
=ln(ey-1)-ln(ey)
Das is genau das was oben steht, dann einfach mit Logarithmengesetzen weiter vereinfachen.
MfG
C. Schmidt
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