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Jan (m3ph1sto)
Neues Mitglied
Benutzername: m3ph1sto
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. März, 2003 - 19:48: | 
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Hallo,
man soll mit Hilfe von drei Vektoren den Flächeninhalt bestimmen können.
Diese sind A(7;-3;-3), B(1;3;0) und C(9;7;8).
Die allgemeine Formel ist ja 1/2 * g *h
In diesem Fall wäre es also 1/2 * AB * DC
Ich gelange zu diesen Ergebnissen:
Vektor AB= (-6;6;3)
DC= (-6;6;3) - (-9;-7;-8) = (-15;-1;-5) = 15,8429
1/2 * g * h=
1/2 * 9 * 15,8429= 71,29340784
Prinzipiell müsste dieses Resultat ja richtig sein..
Desweiteren ist mir eine Flächeninhaltsformel bekannt, die gilt, sofern die Eckpunkte A,B,C bekannt sind, was ja hier der Fall ist:
1/2 * "Wurzel aus" ( /AB/² /AC/² - (AB * AC)² )
Ich bin mir nicht sicher wie diese Formel auszuführen ist da dass Sternchen und das Malzeichen mich verwirren. Wie genau ist der letzte Teil der Wurzel zu berechnen?
Mein Ergebnis mit dieser Formel ist: "Wurzel" 18225 - 4833, also ca. 115,723 , was sich nicht mit dem anderen Ergebnis deckt.
Im Vorraus danke
Jan |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 523
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. März, 2003 - 21:21: |
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Leider sind beide Ergebnisse falsch!
Ich biete dir deshalb eine dritte Methode an! Das Kreuzprodukt!
Dann ergibt sich der Flächeninhalt als:
A=0,5*|AB x AC|
Wobei AB X AC, das Kreuzprodukt der beiden Vektoren, kann als Determinante sehr einfach berechnet werden!
du erhälst: (36,72,-72)
davon der Betrag 108
==> A=0,5*108
===> A=54
mfg |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 524
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 19. März, 2003 - 21:26: |
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Du kannst natürlich auch mit deiner Methode rechnen, man kommt zum selben Ergebniss!
AB sei die Grundseite g
Vektor(AB)=(-6,6,3)
|Vektor(AB)|=9
Dann die Höhe h ist die Länge des Lotes von C auf die Gerade durch AB! D.h. du fällst das Lot von C auf AB und berechnest dessen Länge, Ergebniss h=12
==> A=0,5*g*h
==> A=0,5*9*12
=====> A=54
mfg |
Jan (m3ph1sto)
Junior Mitglied
Benutzername: m3ph1sto
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. März, 2003 - 16:20: |
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Ich danke erst einmal. Ich habe die Aufgabe noch einmal durchgerechnet. Bin jedoch zu einem etwas abweichenden Ergebnis von h= 11.0724 gelangt, ergo A~50. |
Jan (m3ph1sto)
Junior Mitglied
Benutzername: m3ph1sto
Nummer des Beitrags: 7
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. März, 2003 - 16:26: |
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CD= OD -OC
= (7;-3;-3) + lambda* (1;3;0) - (9;7;8)
= (-2;-10;-11) + lambda* (1;3;0)
Skalarprodukt:
CD*(1;3;0) = -32 + 10lambda
lambda= 3.2
OD= (10.2;6.6;-3)
/CD/² = (10.2-9)² + (6.6-7)² + (-3-8)² = 122.6= 11.0724 |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 526
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. März, 2003 - 16:42: |
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Hm, also irgendwie haben wir die Falschen Vorstellungen.
Also A=0,5*g*h
g=Grundseite AB
h=Höhe hc
Mach dir mal am besten eine Skizze. Die Höhe hc, ist die Strecke die Senkrecht von C auf die Strecke AB fällt, also gleichzeitig auch Lot ist.
Ich weis nicht welchen Punkt D du da berechnen willst? Du brauchst doch nur die drei angegebenen. Kennst du dich mit dem Lotverfahren aus? Und mit der Berechnung Abstand Punkt-Gerade im Raum? Wenn nicht dann zeige ich es dir kurz, denn die Höhe hc ist nicht anderes als der Abstand des Punktes C von der Strecke AB!
mfg |
Jan (m3ph1sto)
Junior Mitglied
Benutzername: m3ph1sto
Nummer des Beitrags: 8
Registriert: 09-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. März, 2003 - 19:29: |
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Ich habe den Fehler erkannt. Vielen Dank.
Nur eine Frage verbleibt mir noch: Wie kann ich mittels des Skalarprodukts allgemeine Bedingungen für die Vektoren AB, BC und CA angeben, damit ein Dreieck rechtwinklig, gleichschenklig oder gleichseitig ist?
Gleichseitig wäre doch einfach AB=BC=CA,
gleichschenklig AB=BC oder AB= CA oder BC=CA
Bei einem rechtwinkligen Dreieck wäre wohl
OA + lambda *(AB) = 0
Doch wie beweise ich gl.schenkl. und gl.stg. Eigenschaften eines Dreiecks mit dem Skalar?
Danke noch einmal für die bisherige mathematische Unterstützung
Janosch |
Ferdi Hoppen (tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: tl198
Nummer des Beitrags: 527
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. März, 2003 - 20:08: |
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Hm,
also gleichseitig:
Die Beträge der Strecken der Punkte müssen gleich sein, d.h. |AB|=|AC|=|BC|
Gleichschenklig ist es wenn die Beträge von nur 2 Seite gleich sind, also |AB=|AC|¹|BC|
So ein Dreieck ist rechtwinklig, wenn das Skalarprodukt zweier Vektoren der Strecken gleich Null ist, d.h. Vektor[AB]*Vektor[AC]=0 etc, denn dann schliesen diese beiden Vektoren ja grade einen Winkel von 90° ein!!
mfg |
mythos2002 (mythos2002)
Erfahrenes Mitglied
Benutzername: mythos2002
Nummer des Beitrags: 424
Registriert: 03-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 20. März, 2003 - 22:55: |
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Gehen wir nochmals zu der bemerkenswerten Formel
1/2 * "Wurzel aus" ( |AB|² |AC|² - (AB * AC)² )
Sie resultiert aus der gleichzeitigen Anwendung der trigonometrischen Flächenformel und des Cosinus-Satzes.
Das "Sternchen" (besser wäre der Punkt "." als Zeichen) bezeichnet die Verküpfung der beiden Vektoren zu dem skalaren Produkt!
Somit ist |AB| = sqrt(81) = 9, |AC| = sqrt(225) = 15 und AB . AC = 81 und
A = (1/2)*sqrt(81*225 - 81²) = (1/2)*9*sqrt(225 - 81) = (1/2)*9*12 = 54 FE!
Also liefert die Formel kurz und schmerzlos das richtige Ergebnis und du weisst hoffentlich jetzt, wie man diese richtig anwendet!
Gr
mYthos
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