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WIDER STURE RECHNEREI

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Friedrich Laher (friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 1021
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 16. März, 2003 - 17:15:   Beitrag drucken

Liebe Leute,

wahrscheinlich ist es auch für andere die hier Antworten kaum ein LustErlebnis, immer wieder lineare Gleichungssysteme zu lösen.

Mann sollte natürlich verstehen und wissen wie es funktioniert - aber vorallem wenn alle Koeffizienten bloß Zahlen sind,
ist
es ein sture Rechnerei, bei der man im Kopf, "schiftlich", und selbst mit dem Taschenrechner, immer wieder Fehler machen würde,
die
Rechnerei also besser Maschinen überläßt.

Wer selbst Hilfsmittel dafür hat postet hier hoffentlich solche Fragen nicht, wer nicht, möge bitte künftig dafür

MathematicaOnline verwenden .

Im Attachment
text/htmlGleichungsdemo
GleichungsDemo.html (2.9 k)
, es ist ein
schmales html file, lest es am besten paralle zu diesem Postin,
habe
ich es an einem willkürlichem System mit 3 Unbekannten x,y,z

3x - y + 2z = +5
7x +2y + 1z = -4
6x -3y + 5z = +2

vorgerechnet. Zwar nur mit ganzzahligen Koeffizienten, aber Ihr könnt natürlich auch Brüche oder
Zahlen mit DezimalPunkt verwenden ( bei letzteren wird aber dann mit beschänkter Genauigkeit gerechnet, er werden u.U. keine exakten Nullen erzielbar sein.)

Einzutippen braucht ihr nur die ( von mir ) rot gefärbten Texteile.

Den "Ausführen" Knopf haben ich jeweils nach eintippen der Zeilen denen eine "Out[..]" Zeile folgt, geklickt, anhand des Ergebnisses entschieden, was nun zu tun ist,
die neuen Eingaben hinzugetippt, und wieder "Ausführen" ...

Die Semikolons(";") an den Zeilenenden bewirken, daß die Zwischenergebnisse nicht ausgegeben werden.

e1,e2,e3 sind ( recht frei wählbare ) Variablennahmen,
die
Inhalte dieser Variabelen sind Vektoren, deren Elemente, durch Komata getrennt, zwischen { und } aufgelistet werden.

3 x bedeutet 3mal x, der Zwichenraum ersetzt also ein Multiplikationszeichen ( das aber auch als ein Sternchen * geschieben werden darf )

die x,y,z könnte man aus den Vektoren eigentlich weglassen, man muß eben wissen welche Spalte welche Unbekannte ist
(
und die Reihenfolge der Unbekannte muß in allen Zeilen natürlich übereinstimmen, alle müssen gleichviele Elemente enthalten,
wenn ein Koeffizient 0 ist muß die 0 geschrieben werden.
)
Die "=" Zeichen nach den Variablennamen bedeuten, daß der Inhalt der Variablen auf den Wert rechts des "="Zeichens gesetzt wird.

Multiplikation eines Vektors mit / Division durch einen Skalar ist auch in Mathematika das mathematisch gewohnte,
ebenso
Addition und Subtraktion von 2 Vektoren.

Die Funktionen MatrixForm ( Zeilen In[6], In[8], In[11], In[13], In[17] )bewirken die schöne Tabellarische Ausgabe;

Das Lösen eines Gleichungssystems besteht darin, es zunächst einmal zu "diagonalisieren",
also
in ein System umzuformem in dem je eine Gleichung nur mehr 1, 2, 3, 4, ... n Unbekannte enthält
dann
die Gleichung mit der nur 1nen Unbekannten in alle anderen einzusetzen,
womit
dann aus diesen je eine Unbekannte eliminiert wird, also eine Weitere Gl. mit nur einer - einer anderen - Unbekannten entsteht
und
so weiter, bis jeder Zeile nur mehr eine Unbekannte, jede eine andere, enthält.
Dann
ist nur mehr durch die Koeffizienten zu divieren, damit links die Unbekannten, jeweils mit Koeffizient 1, und rechts die zughörigen Werte
bleiben.
------------
In[4] eliminiert x aus e2, In[5] eliminiert x aus e2
In[7] eliminiert y aus e3
damit
ist das System Diagonalisiert.

In[9], In[10] eliminieren z aus e2 und e1

In[12] eliminiert y aus e1;
es
ist nur noch jede Zeile zu dividieren, das Ergebnis ist x = 59/2, y = -135/2, z = -151/2 .

Natürlich Bietet Mathematica auch "KleinstesGemeinsamesVielfaches" ( GCD[Zahl11, Zahl2] ),
so
daß man bei den Berechnungen das entstehen zu großer Zahlen vermeiden könnte - aber große Zahlen sind kein Problem für Mathematika.
Und
selbstveständlich kann, wer die Zwischnergebnisse nicht vorweisen muß "Solve" verwenden.
Schmökert ruhig in der Doku!

Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]

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