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Anonym
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 29. März, 2000 - 20:35: | 
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Hallo!
Kann mir jemand bei folgender Aufgabe behilflich sein:Gegeben sind die Punkte A(5/2/0);B(1/2/1);
C(1/1/0);D(2/3/0)
a)Zeige,dass die Geraden durch die Mittelpunkte gegenüberliegender Seiten sich in einem Punkt schneiden.Berechne den Schnittpunkt.
b)Zeige,dass die Mittelpinkte der Seiten ein Parallelogramm bilden
c)Prüfe,ob die Diagonalen des Vierecks sich in einem Punkt schneiden |
reinhard
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. März, 2000 - 19:26: |
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Hallo!
a)
Daß sich die Geraden schneiden, kannst du am besten zeigen, indem du einfach den Schittpunkt ausrechnest. Bekommst du tatsächlich ein Ergebnis, dann scheiden sie sich, sonst nicht.
Die Mittelpunkte von Seiten erhälst du mit (P1+P2)/2, also der Mittelpunkt zwischen A und B ist (A+B)/2 = ((5;2;0)+(1;2;1))/2=(3;2;0,5)
Die gegenüberliegende Seite ist CD und deren Mittelpunkut (C+D)/2=(1,5;2;0)
Für die Gleichung der Geraden brauchst du einen Punkt (du hast bereits 2 zur Auswahl) und einen Richtungsvektor. Letzeren bekommst du mit (C+D)/2-(A+B)/2 = (1,5;2;0)-(3;2;0,5)=(-1,5;0;-0,5) Und weil es bei diesem Richtungsvektor nicht auf die Länge ankommt, können wir ihn auf "schöne" Zahlen mit -2 erweitern: (3;0;1)
Die Geradengleichung ist somit X=(3;2;0,5)+t(3;0;1)
Ebenso, nur mit den Seiten AD und BC kommst du zur zweiten Geraden, die schließlich die Gleichung X=(3,5;2,5;0)+s(5;2;-1)
Diese schneidest du dann:
X=X
(3;2;0,5)+t(3;0;1)=(3,5;2,5;0)+s(5;2;-1)
3+3t=3,5+5s
2=2,5+2s
0,5+t=-s
aus der zweiten Gleichung folgt: s=-0,25
dieses in die dritte Gleichung eingesetzt: t=-0,25
überprüfen wir dieses Ergebnis in der ersten Gleichung
3-0,75=3,5-1,25
2,25=2,25
Der Schnittpunkt ist also jener Punkt, den du erhälst, wenn du für t=-0,25 in die Geradengleichung einsetzt: (2,25;2;0,25)
b)
Die vier Mittelpunkte haben wir ja bereits berechnet:
(A+B)/2=(3;2;0,5)
(B+C)/2=(1;1,5;0,5)
(C+D)/2=(1,5;2;0)
(D+A)/2=(3,5;2,5;0)
Parallelogramme haben folgende Eigenschaft: Ihre gegenüberliegende Seiten sind Parallel. Überdies sind sie auch noch gleich lange. In Vektoren ausgedrückt: Ihre Vektoren sind ident.
Vergleichen wir also je zwei gegenüberliegende Vektoren:
(A+B)/2-(B+C)/2=(2;0,5;0)
(D+A)/2-(C+D)/2=(2;0,5;0)
sind ident
(B+C)/2-(C+D)/2=(-0,5;-0,5;0,5)
(A+B)/2-(D+A)/2=(-0,5;-0,5;0,5)
auch ident,
also bilden die Mittelpunkte der Seiten ein Parallelogramm.
c)
Hier genaudieselbe Rechnung wie in a), nur daß nicht erst Mittelpunte berechnet werden müssen.
Die erste Diagonale ist X=A+tAC = A+t(C-A)=(5;2;0)+t(-4;-1;0) und die zweite ist X=B+sBD = B+s(D-B)=(1;2;1)+s(1;1;-1)
Diese dann schneiden
Ich bekomme keinen Schnittpunkt heraus
Reinhard |
El Stefano
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. September, 2000 - 21:12: |
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Hei ich muss einen Vortrag über Vierecke machen !
Kann mir jemand helfen, es sollte aber nciht zu komplieziert sein, so ca. 6 oder 7 Klassstoff !
Danke schon im Voraus
Gruss: El Stefano |
Hano
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. September, 2000 - 22:50: |
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Weshalb stellst Du dann die Frage unter Klassen 11-13? |
Sabrina
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. September, 2000 - 16:31: |
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HILFE!!!Schaffe es einfach nicht alleine!
Es sei g=(PQ) mit P(1/0/1),Q(7/3/-2) und E=(ABC) mit A(4/3/-2),B(2/2/0),C(4/0/1).
a)Gib eine Gleichung für E an und berechne den Durchstoßpunkt R von g durch E.
b)Zeige,daß das Dreieck ABC gleichschenklig und rechtwinklig ist.Bestimme einen Punkt D,welcher mit A,B,C ein Quadrat bildet.Zeige,daß der in a) berechnete Punkt R der Mittelpunkt dieses Quadrats ist.
c)Berechne die Spitze S und S' der beiden quadratischen Pyramiden mit der gemeinsamen Grundfläche ABCD,deren Seitenkanten die gleiche Länge wie die Grundkanten haben.
d)Bestimme den Mittelpunkt und den Radius der Kugel,welche die Ebene E in A berührt und durch den Punkt T(7/6/2) geht.
Vielen dank! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. September, 2000 - 20:54: |
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Hi Sabrina
Motto: Der echte Schüler lernt aus dem Bekannten
das Unbekannte entwickeln und nähert sich dem Meister.
( J.W.v.Goethe,Wilhelm Meisters Lehrjahre)
Zuerst soll die etwas anspruchsvollere Teilaufgabe d)
gelöst werden.
1. Bestimmung der Gleichung der Ebene ABC
Die Ebene wird aufgespannt durch die Vektoren
u = BA = {2 ; 1 ; - 2 } und
v = BC = {2 ; - 2 ; 1 }
p sei das Vektorprodukt dieser Vektoren ; man errechnet :
p = u x v = { - 3 ; - 6 ; - 6 } = - 3 * {1 ; 2 ; 2 }
Der Vektor n = {1; 2 ; 2} ist ein Normalenvektor der Ebene E;
die Koordinaten von n erscheinen als Koeffizienten in der
Gleichung von E.
Diese lautet somit x + 2 y + 2 z = d. mit d = 6 ,
da A (4 / 3 / -2 ) auf E liegt.
2. Der Mittelpunkt M der gesuchten Kugel liegt auf der
zu E senkrechten Gerade k durch A;
eine Parametergleichung von k lautet (m als Parameter):
x = 4 + m ; y = 3 + 2 * m , z = -2 + 2 * m
(wir haben n als Richtungsvektor von u gewählt)
3: Da A und T (7 / 6 / 2 ) auf der Kugel liegen, hat der
Mittelpunkt M je gleiche Abstände von A und T;
M liegt somit auf der Mittelnormalebene F der Strecke AT.
F geht durch den Mittelpunkt N ( 11/2 / 9/2 / 0 )
dieser Strecke und steht auf der Geraden AT senkrecht
Der Vektor w = AT = { 3 ; 3 ; - 4 } ist ein Normalenvektor
von F
Die Gleichung von F lautet :
3 x + 3 y - 4 z = 30
( beachte, dass F durch den Punkt N geht ! )
4. Um den Mittelpunkt M zu erhalten , schneiden wir die
Gerade k (siehe 2.) mit der Ebene F (siehe 3.),
indem wir die x,y und z-Werte aus der Geradengleichung
in die Ebenengleichung einsetzen und nach m auflösen.
Wir erhalten m = 1 und schliesslich damit den Kugelmittelpunkt
M zu M ( 5 / 5 / 0 )
5. Der Kugelradius r ergibt sich als Abstand der Punkte
M und A zu
r = wurzel (1^2 + 2^2 + 2^2) = 3
Damit ist dieser Teil der Aufgabe erledigt
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
Eva (Evaratlos)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 13:49: |
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Hallo Leute,
bitte helft einer armen Unwissenden.
Aufgabe:
Gegeben ist ein Viereck ABCD. A (0/4/1) B (-4/4/2)
C (-2/3/4). Wie berechne ich D?
Hilft mir das weiter, wenn ich aus den bekannten Punkten Geradengleichungen mache?
Danke schon im Voraus für eure schnelle Hilfe! |
doerrby
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Dezember, 2000 - 14:31: |
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Was für Bedingungen muss das Viereck erfüllen ?
Muss es in einer Ebene liegen, sind Winkel vorgegeben, irgendeine besondere dreidimensionale Form ?
So wie die Aufgabe dasteht, kann man den Punkt D fast beliebig wählen.
Gruß Dörrby |
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