| Autor |
Beitrag |
    
Betina
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Februar, 2002 - 17:05: | 
|
Hallo ihr Matheasse!!!
Kann mir jemand helfen folgende Funktion abzuleiten???
arcsin(sqrt((a-x)/x))
Rechenweg und Erklärung wären megalieb!!
Danke schon mal
Betina |
Betina
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 27. Februar, 2002 - 13:59: |
|
Hallo???
Weiß das wirklich niemand????
Wäre echt wichtig!!!
Bitte!!!! |
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Februar, 2002 - 03:26: |
|
Hallo Betina !
Setze u(x)=arcsin(x) und v(x)=sqrt((a-x)/x).
Dann ist u´(x)=1/sqrt(1-x^2) [*].
Nach der Kettenregel ist die Ableitung
(da dann f(x)=u(v(x)):
f´(x)=u´(v(x))*v´(x) [**]
Weiter ist nach [*]
u´(v(x))=1/[sqrt(1-[(a-x)/x])] [***]
Du brauchst nun also noch v´(x).
Dazu setzt du g(x)=sqrt(x) und h(x)=(a-x)/x.
Dann ist v(x)=g(h(x)), also ist nach der Kettenregel:
v`(x)=g´(h(x))*h´(x). [****]
g´(x)=1/2sqrt(x) =>
g´(h(x))= 1/(2sqrt((a-x)/x)).[*****]
Nun brauchst du noch h´(x).
Dazu setzt du:
u(x)=a-x und t(x)=x
Dann ist h(x)=u(x)/t(x), also nach der Quotientenregel:
h´(x)=[u´(x)*t(x)-u(x)*t´(x)]/t^2(x)
h´(x)=[(-1*x-(a-x)*1)]/x^2 [******]
Nun berechnest du [****] in dem du [*****] und [******] einsetzt.
In [**] setzt du erst [***] ein und dann unser Ergebnis aus [****].
So erhältst du die Ableitung.
Zur Übersicht empfehle ich dir, das ganze mal auszudrucken und separat auf ein Blatt Papier zu schreiben, damit du weisst, wie du vorgehen musst. Ist halt eine blöde Funktion, da man Ketten- und Quotientenregl anwenden muss, und das nach und nach...
Beachte übrigens:
Der Arcsin ist nur für Werte zwischen -1 und 1 aus R definiert und weiter darf x bei deiner Funktion nicht 0 sein ( da nicht durch 0 geteilt werden darf). Ferner muss ((a-x)/x)>=0 sein( wegen dem Def.-Ber. des Arcsin). Dies nur als Hinweis, da die Ableitung ja nur auf dem stetigen Teil der Funktion def. ist bzw. auf dem Definitionsbereich. Auf den Nachweis, dass die Funktion in allen anderen Punkten stetig ist, verzichte ich hier.
Grüsse
STEVENERKEL
|
STEVENERKEL
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 28. Februar, 2002 - 03:29: |
|
Hallo Betina !
Setze u(x)=arcsin(x) und v(x)=sqrt((a-x)/x).
Dann ist u´(x)=1/sqrt(1-x^2) [*].
Nach der Kettenregel ist die Ableitung
(da dann f(x)=u(v(x)):
f´(x)=u´(v(x))*v´(x) [**]
Weiter ist nach [*]
u´(v(x))=1/[sqrt(1-[(a-x)/x])] [***]
Du brauchst nun also noch v´(x).
Dazu setzt du g(x)=sqrt(x) und h(x)=(a-x)/x.
Dann ist v(x)=g(h(x)), also ist nach der Kettenregel:
v`(x)=g´(h(x))*h´(x). [****]
g´(x)=1/2sqrt(x) =>
g´(h(x))= 1/(2sqrt((a-x)/x)).[*****]
Nun brauchst du noch h´(x).
Dazu setzt du:
u(x)=a-x und t(x)=x
Dann ist h(x)=u(x)/t(x), also nach der Quotientenregel:
h´(x)=[u´(x)*t(x)-u(x)*t´(x)]/t^2(x)
h´(x)=[(-1*x-(a-x)*1)]/x^2 [******]
Nun berechnest du [****] in dem du [*****] und [******] einsetzt.
In [**] setzt du erst [***] ein und dann unser Ergebnis aus [****].
So erhältst du die Ableitung.
Zur Übersicht empfehle ich dir, das ganze mal auszudrucken und separat auf ein Blatt Papier zu schreiben, damit du weisst, wie du vorgehen musst. Ist halt eine blöde Funktion, da man Ketten- und Quotientenregl anwenden muss, und das nach und nach...
Beachte übrigens:
Der Arcsin ist nur für Werte zwischen -1 und 1 aus R definiert und weiter darf x bei deiner Funktion nicht 0 sein ( da nicht durch 0 geteilt werden darf). Ferner muss ((a-x)/x)>=0 sein ( wegen des Def.-Ber. des arcsin, da der nicht für Komplexe definiert ist). Dies nur als Hinweis, da die Ableitung ja nur auf dem stetigen Teil der Funktion def. ist ( bzw. auf dem Def.-Bereich). Auf den Nachweis, dass die Funktion in allen anderen Punkten stetig ist, verzichte ich hier.
Grüsse
STEVENERKEL
|
Integralgott
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. März, 2002 - 10:05: |
|
Hallo Betina!
Die Ableitung des arcsin x ist 1/W{1-x²}, wobei W{...} "Wurzel aus" heißen soll.
Das ist durch implizites Ableiten leicht zu zeigen:
y = arcsin x <=> sin y = x
Unter Berücksichtigung, dass y Funktion von x ist leitet man mit der Kettenregel ab:
y' * cos y = 1 <=> y' = 1/cos y
Man benutzt noch die Identität sin² y + cos² y = 1 <=> cos y = W{1 - sin² y}
und erhält:
y' = 1/W{1 - sin² y}
Nun ist doch aber x = sin y, daher:
y' = 1/W{1-x²}
Nun zu deiner Aufgabe: Die Funktion ist verkettet, die Kettenregel muss angewendet werden:
f(x) = arcsin [W{(a/x - 1}]
f'(x) = 1/W{1 - (a/x - 1)} * 1/(2*W{a/x - 1}) * (-a/x²)
= -a/[2x² * W{(2 - a/x) * (a/x - 1)}]
MfG, Integralgott |
|
