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Bart
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 17:59: | 
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Hallo,
häufig wird die Eulersche Gleichung e^ix=cosx+isinx mit der Reihenentwicklung von e^x im Reellen plausibel gemacht. Abgesehen davon, daß man von der Herleitung der Reihenentwicklung im Reellen nicht auf die Gültigkeit im Komplexen schließen kann, wüßte ich gerne, wie man das Potenzieren mit einer komplexen Zahl überhaupt definiert?
d.h. wie ist a^z (z komplexe Zahl, nicht Element der reellen Zahlen)
Danke! |
clee
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Februar, 2002 - 01:08: |
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Hallo Bart! Es ist eigentlich so, daß man e^z für alle komplexen z per Reihe einfach definiert. Einmal gezeigt, daß die Reihe im Reellen konvergiert, konvergiert sie automatisch überall. Ein Satz sagt nämlich daß es für jede Potenzreihe (eine Taylorreihe) einen Kreis gibt, innerhalb von welchem sie konvergiert und außerhalb divergiert. In diesem Fall muß der Radius also unendlich sein.
a^x definiert man im Reellen über den Logarithmus: a^x = e^(x*lna).
Genau dieselbe Definition wendest du im Komplexen an.
(Schwieriger wird's wenn das a auch komplex sein darf - das geht nämlich nicht mehr, weil man den ln auf dem Komplexen nicht verallgemeinern kann, weil seine Umkehrfunktion - e^x nicht bijektiv ist, d.h. es gibt zu einem y viele x, sodaß y=e^x)
Hoffe das beantwortet in etwa deine Fragen. Ansonsten schick mir ein Email. |
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