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Andrea
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Februar, 2002 - 19:55: | 
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Ich benötige eine Formel für die n-te Ableitung von f(x) = ln x : x
Am hilfreichsten wäre die Lösung mit den einzelnen Rechenschritten, damit ich sie nachvollziehen kann.
Tausend Dank schon im voraus!!! |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 14:16: |
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Hi Andrea,
Per CAS sehen wir uns die ersten paar Ableitungen an,
die sich dann als von der Form
f^(n)(x) = (-1)^(n+1) * (c(n) - (n!)*ln(x))/x^(n+1)
zeigen. c(n) ist hier ein Koeffizient, der von n abhängt.
Vielleicht gelingt es jemand anders, diesen näher zu bestimmen.
Anm.: f^(n)(x) meint "n-te Ableitung von f nach x".
Grüße, Xell |
Andrea (Clueless)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 14:18: |
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Ich benötige eine Antwort auf das zuvor genannte Problem ( eine Formel für die n-te Ableitung von f(x)= lnx : x ) |
Xell
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 15:50: |
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Oben steht doch (mindestens) eine. |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 23. Februar, 2002 - 22:29: |
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Ist das wirklich noch Abi-Niveau, oder vielleicht doch schon Uni ? Die Lösung lautet nämlich, wie Xell schon schrieb
f(n)(x) = c(n)/xn+1 + n!(-1)nln(x)/xn+1
mit c(n)=(-1)n+1n!Sn k=1(1/k)
Das beweist man wohl am besten mit Induktion. Die Herleitung ist um einiges komplizierter. Xell hat es schon angedeutet : Erstmal ein paar Ableitungen ausrechnen, dann Regelmäßigkeiten erkennen und schließlich die fehlende Konstante durch Rekursion bestimmen. |
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