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Beitrag |
    
jasmin
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. März, 2000 - 08:59: | 
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ich habe eine umfangreichere aufgabe,die mir ziemliches
kopfzerbrechen bereitet. vielleicht hat einer vn euch
mehr ahnung von mathe und kann mir helfen.auf jeden
fall schon einmal vielen dank !
zu zeigen ist, dass U= (x1;x2;x3/x1+2x2+3x3=0)ein
teilraum von R^ ist und die vektoren b1=(-2;1;0)und
b2=(-3;0;1) eine basis von U bilden.
fasst man den R^3 als geometrischen vektorraum auf,
wird U zu einer Ebene E1 (die den Nullpunkt enthält.Es
soll eine gleichung von E1 notiert werden.
es folgt noch ein zweiter teilzu dieser aufgabe:
zu betrachten sind die drei punkte P=(1;1;1),Q=(3;q2;q3)
und R=(2;5;r3). die fehlenden komponenten q2,q3 und r3
sollen nun so gewählt werdn, dass die vektoren PQ und
PR linear abhängig sind und zugleich in E1 liegen.
Warum liegen die drei punkte P,Q und R auf einer
geraden g1 ? es soll noch die gleichung für diese
gerade angegeben und ihre lage zu E1 untersucht
werden. |
reinhard
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. März, 2000 - 18:22: |
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Hallo Jasmin!
Um zu zeigen, daß U=(x1,x2,x3|x1+2x2+3x3=0) ein Unterraum von R3 ist, kenne ich nur das sogenannte Unterraumkriterium:
Wenn für alle u und u' aus der Menge U und für alle l aus R gilt: u+u' ist in U und lu ist in U, dann ist U ein Unterraum.
Mein u sei (u,v,w) und das u' sei (x,y,z). Weiters gilt, weil u und u' ja aus U sind, daß u+2v+3w=0 und x+2y+3z=0.
u+u' ist somit (u+x,v+y,w+z). Überprüfen wir, ob dieser Punkt in U liegt.
(u+x)+2(v+y)+3(w+z) = u+x+2v+2y+3w+3z=u+2v+3w + x+2y+z Aus der Bedingung für u und u' folgt:
= 0+0 =0
Dies wäre mal gezeigt. wenn nun für irgendein l gilt: l*u in U, dann haben wir gewonnen.
l*u=(lu,lv,lw)
lu+2lv+3lw = l(u+2v+3w)=l*0=0
U ist also tatsächlich ein Unterraum von R3
Für diesen Unterraum brauchen wir 2 Vektoren für die Basis (ich merke mir das so: von den 3 komponenten kannst du 2 frei wählen, die 3. berechnet sich aus den 2 anderen. 2 frei wählbare -> 2 Vektoren).
Es gibt da einen Satz, daß Basisvektoren nur eines erfüllen müssen: sie müssen linear unabhängig sein, sonst kann man irgendwelche nehmen. Daß (-2;1;0) und (-3;0;1) linear unabhängig sind, ist fast offensichtlich.
Die Gleichung der Ebene, die gesucht wird, ist in der Angabe schon drinnen: x1+2x2+3x3=0.
Der Vektor PQ berechnet sich mit (3-1;q2-1;q3-1)=(2;q2-1;q3-1) und PR mit (2-1;5-1;r3-1)=(1;4;r3-1). Wenn PQ und PR linear abhängig sein sollen, dann muß gelten PQ=l*PR.
An der ersten Komponente kann man sehen, daß l=2 sein muß.
In der zweiten Komponente steht q2-1=l*4=2*4=8, also q2=9
Über die 3. Komponente können wir noch nichts aussagen.
Die beiden Vektoren müssen aber auch noch in der Ebene liegen. Wenn einer von ihnen in der Ebene liegt, dann tut das der andere auch (wegen linearer Abhängigkeit und Unterraumkriterium).
PR soll also in der Ebene liegen:
1+2*4+3*(r3-1)=0
3(r3-1)=-9
r3-1=-3
r3=-2
Der Vektor PR ist also (1;4;-3) und somit ist PQ (weil l=2) gleich (2;8;-6) und q3=-5.
Q=(2;9;-5) R=(2;5;-2)
P, Q und R liegen deswegen auf einer Geraden, weil der Vektor PQ und der Vektor PR liear abhängig sind, das heißt sie zeigen in genau die selbe Richtung, nur die Länge ist verschieden. Von P aus gesehen ist R in genau derselben Richtung wie Q, daraus folgt, sie liegen auf einer Geraden.
Die Parameterdarstellung einer Geraden ist so aufgebaut: X=P+t*a, wobei P ein Punkt auf der Geraden und a ein Richtungsvektor der Geraden sind. Ein Punkt auf der Geraden ist eben P=(1;1;1) und ein Richtungsvektor ist PR.
g1: X=(1;1;1)+t(1;4;-3)
Der Richtungsvektor dieser Gerade liegt in der Ebene, das heißt der Richtungsvektor ist parallel zur Ebene E1. Die Gerade kann also nur noch etweder in der Ebene liegen oder eben zu ihr parallel sein. Wenn der Punkt P der Ebene in der Ebene enthalten ist, dann liegt auch die ganze Gerade in der Ebene, ansonsten sind sie parallel.
1+2*1+3*1=6¹0.
Die Gerade ist parallel zur Ebene
Reinhard |
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