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Beitrag |
    
christin kloppisch (Chrissykl)
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 20. Februar, 2002 - 20:47: | 
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Hallo, hab hier eine teilweise komplizierte e-Funktion. Kann die jemand lösen? Danke!
Gegeben ist die Funktion y= f(x)= e^x-1/4x*e^x
1. Untersuchen sie den Graphen von f auf Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen, auf Extrem- und Wendepunkte (ausführliche Rechnung)
2. Ermitteln sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt (1;f(1))
3. Geben sie die Gleichung der Geraden g an, die im Punkt A senkrecht auf der Tangente steht.
Berechnen sie den Schnittwinkel der Geraden g mit der y-Achse
4. Die Schnittpunkte des Graphen der Funktion f mit den Koordinatenachsen und der lokale Maximumpunkt bilden ein Dreieck. Berechnen Sie dessen Flächeninhalt.
5. Es sei P(x;f(x)) mit 0<=X<=4 ein Punkt auf dem Graphen von f. Die Parallele zur y-Achse durch P schneidet die x-Achse in eiem Punkt S.
Berechnen Sie die x-Koordinate von P für den Fall, dass der Flächeninhalt des Rechtecks 0QPS maximal wird. (0 bezeichnet den Koordinatenursprung)
6. Gesucht ist die Gleichung derjenigen Funktion q, deren Graph durch die Punkte A(1;f(1)) und B(0;f(0)) verläuft und im Punkt B den Anstieg 3/4e besitzt. |
K.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Februar, 2002 - 09:03: |
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Hallo Christin
y= f(x)= e^x-1/4x*e^x
Welche Funktion ist hier gemeint?
f(x)=(ex-1)/(4xex) oder
f(x)=ex-1/(4xex) oder
f(x)=ex-(1/4xex) oder
f(x)=ex-(1/4)xex
usw.
Es gibt noch weitere Interpretationsmöglichkeiten.
Du solltest Klammern setzen, um die Funktion eindeutig zu definieren.
Mfg K. |
christin kloppisch (Chrissykl)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Februar, 2002 - 18:15: |
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Hallo, die richtige Funktion heißt:ê^x-(1/4x)*e^x |
K.
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 21. Februar, 2002 - 19:06: |
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Hallo Christin
die Funktion ist noch immer nicht eindeutig
e^x-(1/4x)*e^x
Ist nun
f(x)=ex-(1/(4x))*ex oder
f(x)=ex-((1/4)*x)*ex gemeint?
zu 1)
ScHnittpunkte mit der x-Achse sind die Nullstellen;
also f(x)=0 setzen und nach x auflösen
Schnittpunkte mit der y-Achse erhälst du, indem du f(0) ausrechnest.
zu 2)
Tangentensteigung ist f'(1)
Außerdem f(1)=y-Wert des Berührpunktes ermitteln
Steigung und Koordinaten des Berührpunktes in die allgemeine Geradengleichung
y=mx+b einsetzen, nach b auflösen.
Dann kannst du die Tangentengleichung aufstellen.
zu 3) Ist A der Beürhrpunkt der Tangente; also A(1|f(1))?
Geht so nicht eindeutig aus der Aufgabenstellung hervor.
zu 4)
Maximum bestimmen mit f'(x)=0
und mit f"(x) auf Maximum überprüfen
So, ich denke, nun kannst du schon mal anfangen.
Werde dir auf Rückfrage gerne bei einzelnen Problemstellungen weiterhelfen, sobald ich die richtige Funktionsgleichung kenne.
Mfg K. |
christin (Chrissykl)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Februar, 2002 - 13:19: |
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Ich hoffe, dass es jetzt eindeutig ist:
f(x)=ex-((1/4)*x)*ex .
zu 3. A ist der Berührungspunkt.
Kannst du die Ergebnisse der Aufgaben mit angeben?
Hab schon angefangen bin aber nicht sicher, ob sie richtig sind. |
K.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. Februar, 2002 - 21:14: |
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Hallo Christin
f(x)=ex-(1/4)*x*ex
1) Nullstellen f(x)=0 => x=4
Schnittpunkt mit y-Achse: f(0)=1
2) A(1|(3/4)*e) ist der Berührpunkt
Die Tangentengleichung lautet: y=(1/2)e*x+(1/4)e=1,3591x+0,6796
3) g ist senkrecht zur Tangente; d.h. m=-1/Tangentensteigung
also
m=-1/(1/2*e)=-2/e
A und m in die allgemeine Geradengleichung einsetzen
=> g: y=-(2/e)x+(2/e)+(3/4)e=-0,7358x+2,7754
Schnittwinkel von g mit der y-Achse:
tana=-0,7358 => a=36,35°
4) Max(3|5,021)
Schnittpunkt mit y-Achse S(0|1)
Schnittpunkt mit x-Achse N(4|0)
sind die Eckpunkte des Dreiecks.
Für den Flächeninhalt eines Dreiecks gilt: A=c*hc/2
c ist die Strecke SN. Ihre Länge ist c=Ö[(1²+4²)]=Ö17
Fehlt noch die Höhe hc.
Dies ist der Abstand des Maximumpunktes von SN;
also der Abstand von der Geraden y=-1/4*x+1
hc=(5,021+(1/4)*3-1)/(Ö1+1/16
hc=4,771/1,03=4,63
=> A=Ö17*4,63/2=9,54 ist der Flächeninhalt
5) P(u|f(u)) und S(u|0)
Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt nun
A=OS*SP
A(u)=u*(eu-(1/4)u*eu)
A(u)=ueu-(1/4)u²eu
A'(u)=eu+ueu-(1/2)ueu-(1/4)u²eu
=eu+(1/2)ueu-(1/4)u²eu=0
<=> eu(1+(1/2)u-(1/4)u²)=0
=> -(1/4)u²+(1/2)u+1=0 |*(-4)
<=> u²-2u-4=0 => u=1±Ö5
also u=1+Ö5
und damit P(1+Ö5|0)
So, das dürfte erst mal reichen.
Mfg K. |
christin (Chrissykl)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 24. Februar, 2002 - 13:37: |
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Kannst du die Extrempunkte mal ausführlich rechnen, weiß nicht wie man auf das ergebnis kommt.
Hab noch eine Aufgabe zu dieser Gleichung:
Gesucht ist die Gleichung derjenigen guadratischen Funktion q, deren Graph durch die Punkte A(1;f(1)) und B(0;f(0)) verläuft und im Punkt B den Anstieg (3/4)e besitzt. |
K.
| | Veröffentlicht am Montag, den 25. Februar, 2002 - 08:46: |
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Hallo Christin
f(x)=ex-(1/4)xex
Ableitungen bilden
f'(x)=ex-(1/4)(ex+x*ex)=(1/4)ex(3-x)
f"(x)=(1/4)ex(3-x)+(1/4)ex*(-1)
=(1/4)ex(2-x)
Extrema: f'(x)=0
<=> (1/4)ex(3-x)=0
=> 3-x=0 <=> x=3
Wegen f"(3)=(1/4)e³(2-3)=-(1/4)e³<0 liegt bei x=3 ein Maximum vor
y-Wert des Extrempunktes durch Einsetzen in f(x) berechnen
f(3)=e³-(1/4)*3*e³=(1/4)e³=5,021
ges.: quadratische Funktion
A(1|f(1))
mit f(1)=e1-(1/4)*1*e1=e-(1/4)e=(3/4)e
=> A(1|(3/4)e)
B(0|f(0)) mit f(0)=e0-(1/4)*0*e0=e0=1
=> B(0|1)
Gleichung einer allgemeinen quadratischen Funktion lautet:
g(x)=ax²+bx+c
A(1|(3/4)e) liegt auf der Kurve: g(1)=(3/4)e <=> a+b+c=(3/4)e
B(0|1) liegt auf der Kurve: g(0)=1 <=> c=1
in a+b+c=(3/4)e eingesetzt, folgt
a+b+1=(3/4)e
Steigung in B ist (3/4)e: mit g'(x)=2ax+b folgt
g'(0)=(3/4)e <=> b=(3/4)e
eingesetzt in a+b+1=(3/4)e ergibt
a+(3/4)e+1=(3/4)e |-(3/4)e
<=> a+1=0 |-1
<=> a=-1
Somit hat g die Gleichung g(x)=-x²+(3/4)e*x+1
Mfg K. |
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