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Jasmin
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 17:15: | 
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Warum ist die Ableitung der e hoch x Funktion gleichzeitig die Funktionsgleichung?
Was ist mit der Stammfkt.? |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 20:33: |
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Hallo Jasmin!
Das ist gerade der Witz an der Zahl e. e^x ist die einzige Funktion, bei der jeder Funktionswert der Steigung in diesem Punkt entspricht.
Angenommen, ich würde gerade solch eine Zahl suchen. Da müssten wir dann zurück zum Differenzenquotienten und dort mal die Funktion a^x einsetzen:
[a^(x+h) - a^x]/h
Das können wir umformen zu:
(a^x*a^h - a^x)/h = a^x * (a^h-1)/h
Wir müssten nun verlangen, dass der Grenzwert für h gegen null gerade a^x entspricht (die Besonderheit von e):
lim{h->0} [a^x * (a^h-1)/h] = a^x
a^x kann ich nun vor den Limes schreiben und dadurch dividieren, denn es ist stets von null verschieden. Es bleibt:
lim{h->0} [(a^h-1)/h] = 1
Die einzige Chance, dieses Ergebnis zu erzielen ist, dass der Zähler auch h ergibt, damit ich h herauskürzen kann und die 1 überbleibt. Damit gibt es für a nur die Möglichkeit (1+h)^(1/h) zu sein, denn
(1+h)^(1/h)^h - 1 = h
Der Grenzwert des Ausdrucks (1+h)^(1/h) für h gegen null ist aber gerade e.
MfG, Integralgott |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 20:39: |
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Hi! Ich nochmal!
In der letzten Formelzeile habe ich die Klammern vergessen. Es muss heißen:
[(1+h)^(1/h)]^h - 1 = h
Ach ja: Natürlich ist die Stammfunktion von e^x dann e^x + Konstante.
MfG, Integralgott |
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