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Parallelflach- Ortsvektoren bestimmen

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Vektorrechnung » Parallelflach- Ortsvektoren bestimmen « Zurück Vor »

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Tom
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 16:40:   Beitrag drucken

Brauche dringend Hilfe bei folgender Aufgabe:
Ein Parallelflach sei bestimmt durch den Eckpunkt A(0/0/0) und die benachbarten Eckpunkte B(-2/5/4), D(6/-1/2) und E(2/-3/6). Ermittle die Ortsvektoren aller weiteren Eckpunkte, diejenigen der sechs Schnittpunkte der Flächendiagonalen und den des Schnittpunktes der Raumdiagonalen.
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Integralgott
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Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 21:42:   Beitrag drucken

Hi Tom!
Ein bisschen Vektorrechnung, was? Naja, habe ich auch mal Lust zu:

Wir müssen uns zunächst auf die Nomenklatur einigen: Ich habe mir ein Parallelogramm herausgeschnappt und es beginnend mit A gegen den Uhrzeigersinn benannt, also ABCD. Genau parallel zu diesem liegt ein weiteres Parallelogramm; den Punkt, der A entspricht nannte ich E und benannte wieder gegen den Uhrzeiger EFGH. Damit ist auch obige Bedingung erfüllt, dass nämlich B, D und E benachbarte Eckpunkte sind.

Um nun den Ortsvektor von C zu erhalten, muss ich nichts weiter tun, als den Vektor AB zu 0D hinzuzuaddieren. Gleiches kann ich für den Punkt F tun, und nachdem ich AD zu 0E addiert habe (dann habe ich H), bekomme ich auf die gleiche Weise auch 0G:

AB = 0B = (-2|5|4)

0C = 0D + AB = (4|4|6)
0F = 0E + AB = (0|2|10)
0H = 0D + AE = (8|-4|8)
0G = 0H + AB = (6|1|12)

Damit wäre der erste Teil schonmal erledigt.


Nun zu den Flächendiagonalen: Es geht immer nur um Schnittpunkte von Geraden. Dass A der Ursprung ist, erleichtert die Sache noch.

Zunächst in der Ebene ABCD:

Die erste Gerade verbindet A und C, die zweite B und D:

g1 = 0A + r*(AC) = (0|0|0) + r*(4|4|6)
g2 = 0D + s*(DB) = (6|-1|2) + s*(-8|6|2)

Durch Gleichsetzen erhält man ein Gleichungssystem:

2r + 4s = 3
4r - 6s = -1
3r - s = 1

Diese ergibt für r und s jeweils 1/2, was ja auch plausibel ist; durch anschauliche Überlegung kommt man zum selben Ergebnis: Zähle ich zu einem Eckpunkt die halbe Flächendiagonale hinzu, so komme ich zum Mittelpunkt der Fläche und damit auch zum Schnittpunkt der Flächendiagonalen.

Der Schnittpunkt lautet also:

0S1 = (1/2)*AC = (2|2|3)

Gleiches gilt nun für die übrigen Flächendiagonalen:

EFGH hat nun den gleichen Diagonalenvektor:
0S2 = 0E + (1/2)*AC = (4|-1|9)

ABFE hat 0F als Diagonale, ebenso DCGH:
0S3 = (1/2)*0F = (0|1|5)
0S4 = 0D + (1/2)*0F = (6|0|7)

ADHE hat wie BFGC den Diagonalvektor 0H:
0S5 = (1/2)*0H = (4|-2|4)
0S6 = 0B + (1/2)*0H = (2|3|8)

Teil zwei ist nun auch erledigt, es folgt der letzte Teil:
Bei den Raumdiagonaken passiert natürlich das gleiche, wie bei den Flächendiagonalen; die Hälfte des Vektors AG = 0G ergibt genau den Ortsvektor des Schnittpunkts:

0Sd = (1/2)*0G = (3|0,5|6)

Zur Probe wählt man noch einen zweiten Weg:

0Sd = 0E + (1/2)EC = (2|-3|6) + (1/2)*(2|7|0) = (3|0,5|6)
genau wie oben.

MfG, Integralgott
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Knasel
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Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 20:41:   Beitrag drucken

Hi,

wieso addiert man AB mit 0D um C zu erhalten??? Ich verstehe nicht wie man zu den anderen Ortsvektoren kommt.

MfG Knasel
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Integralgott
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Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 20:57:   Beitrag drucken

Hallo Knasel!

Ein Vektor ist bestimmt durch drei Dinge:
-Die Richtung
-Die Orientierung
-Der Betrag

Es wird jedoch nichts über die Position des Vektors im Raum festgelegt. Er ist daher verschieblich und kann an beliebigen Stellen seinen Angriffspunkt haben.
So kommt es, dass in einem Parallelflach je vier von den zwölf Kantenlinien gleiche Vektoren sind, da sie gleiche Richtung, gleiche Orientierung (Definitionssache) und gleichen Betrag haben.

MfG, Integralgott
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blindguardian
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 04. März, 2002 - 11:48:   Beitrag drucken

Hi!
Habe folgendes Problem:
Abi-Aufgabe 1999 / B2
und Abi-Aufgabe 1998 / B1
>KEINE AHNUNG!!! Hilfe!
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HübscheNadine
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 05. März, 2002 - 09:37:   Beitrag drucken

Hallo blindguardian,
Lösung findest du bei:
Abi-Lösungen 1999 / B2 auf Seite 56 links unten.
und 1998 / B1 auf Seiten 23,24.

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