| Autor |
Beitrag |
    
Elektrotechnik
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. März, 2000 - 20:26: | 
|
Ich habe ein Problem !
Und zwar soll ich mit Hilfe des
parsevalschen satzes folgendes beweisen :
ò0 ¥e^(-a²x²)dx = Wurzel(p)/2a , a > 0
Ich sehe auf Anhieb keinen Zusammenhang zwischen Parseval und diesem Integral. Auch wenn ich den Integranden Fouriertransformiere erkenne ich keinen Zusammenhang. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 26. März, 2000 - 21:33: |
|
Wie lautet denn der Parsevalsche Satz? Habe leider keine passende Literatur parat. |
Franz
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. März, 2000 - 09:06: |
|
Gehört zum Thema Fourier-Reihen. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. März, 2000 - 13:58: |
|
Hallo Elektromann,
Deine Anfrage ist nicht ganz harmlos. Damit wir uns richtig verstehen, möchte ich zu Beginn den Begriff "Parsevalsche Gleichung" klären.; damit ist dann sichergestellt, dass wir auf derselben Ebene diskutieren.
Der Parseval-Gleichung begegnen wir sowohl bei der Fourier-Transformation und ihrer Umkehrtransformation als auch bei den Fourier - Reihen.
Zum ersten Punkt (I):
Die Funktion F(w) sei die Fourier-Transformierte der Funktion f(t), wobei für f(t) das uneigentliche Integral des Quadrates des Absolutbetrages von f(t) in den Grenzen von minus unendlich bis plus unendlich existiere .Dann stimmt dieses Integral nach Parseval überein mit 1 / (2*Pi) * int ( F(w) ^2 dw ) ; das
Integral ebenfalls genommen in den Grenzen minus unendlich bis plus unendlich und mit Absolutbetrag für F(w).
Das Integral über das Quadrat des Betrages der Zeitfunktion f(t) in den genannten Grenzen kann somit aus dem entsprechenden (analogen) Integral der Amplitudendichte F(w) berechnet werden und umgekehrt.
Zum zweiten Punkt (II):
Seien an und bn die bekannten Fourierkoeffizienten der mit 2 Pi periodischen Funktion f(x):
an = 1/Pi * int( f(x) cos nx dx ) , n = 0 , 1 ,
bn = 1/ Pi * int( f(x) sin nx dx ) , n = 1 , 2 , ( Euler / Fourier)
beide Integrale genommen in den Grenzen minus Pi bis plus Pi.
Nach Bessel gilt die Ungleichung:
ao ^2 / 2 + sum ( an ^ 2 + bn ^ 2 , n = 1 bis unendlich) < =
1 / Pi * int (f (x) ^2 dx) , Grenzen von minus Pi bis plus Pi .
Nach Parseval gilt in dieser Ungleichung sogar das Gleichheitszeichen für alle zulässigen Funktionen mit der genannten Periode.
Die Parsevalsche Gleichung,Version I, kann u.a. zur Berechnung uneigentlicher Integrale dienen. Als Beispiel sei das Integral J = int ( (sinx) ^2 / x ^2 dx ) ,
Grenzen minus unendlich bis plus unendlich , gewählt.
Nun ist die Funktion F(w) = 2 sin w / w die Fourier-Transformierte der folgenden Zeitfunktion f(t)
f ( t ) = 1 für -1 < = t < = 1 , f( t ) = 0 sonst
Zur Kontrolle : F(w) = int ( e^ ( - i w t ) dt , Grenzen - 1 bis +1 ,..alles i.O.
Mit Parseval erhält man damit:
1 / ( 2 Pi ) * int ( 4 * ( sin w ) ^ 2 / w ^2 * dw) ,(Grenzen minus unendlich bis plus unendlich) = int ( 1 ^2 dt) in den Grenzen - 1 bis +1 ; das letzte Integral hat den Wert 2 , sodass sich schliesslich J = Pi ergibt.
Will man nun mit dieser Methode das von Dir vorgelegte Integral berechnen, so stösst man auf eine unerwartete Schwierigkeit. Der Grund mag darin liegen, dass die Fourier -Transformierte von f( t ) = e ^ ( -a t^2 ) wiederum eine Exponentialfunktion derselben Gestalt ist, nämlich:
F( w ) = wurzel ( Pi / a) * e ^ (-1 / (4 a ) * w ^ 2)
Das Problem liegt wohl nicht in uns , sondern in der Sache selbst begründet !
Ueblicherweise berechnet man das gegebene allseits bekannte Integral , das Fehlerintegral von Gauss ( wähle zunächst a = 1), mit dem Einsatz einer
e - Funktion mit zwei Variablen ( (Doppelintegral mit e ^ (x^2 + y^2), oder man arbeitet mit der Gammafunktion unter Beachtung, dass Gamma( 1/2) = int( e ^ ( -x ) * x ^ ( -1 / 2 ) *dx, (Grenzen 0 bis unendlich) = wurzel ( Pi ) gilt.
Das soll vorerst genügen.. Ich behalte aber Dein Problem im Auge !
Mit guten Wünschen: H.R. |
|
