| Autor |
Beitrag |
    
Pascal
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 18:04: | 
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HI
Ich hab auf einer Seite (http://www.achim-und-kai.de/kai/fuc/fuc_jul2.html) eine Interessante Julia-Menge-Gleichung gefunden. Dabei handelte es sich um "u = 1 / cos z" (x, z sind komplexe Zahlen).
Bis jetzt bin ich bis
u = 1/cos(z) + c --> (u, ui) = 1/(cos(z), cos(zi))
gewommen und komme nicht weiter.
Nun ich bräuchte diese Gleichung ausformuliert und in den 2 Koordinatenachse getrennt, d.h. die Real- (u) und Imaginärteil (ui) sollen getrennt werden.
Danke für die Antworten
Pascal |
Christian Schmidt (Christian_s)
Junior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. März, 2002 - 13:51: |
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Hi Pascal
Soweit ich das mit den Fraktalen jetzt verstanden habe, ist hierbei die Rückkopplungsgleichung
z(n+1)=1/cos(zn)+c
Das Aufteilen in Real- und Imaginärteil habe ich folgendermaßen gemacht:
c=a+ib
zn=x+iy
z(n+1)=x(n+1)+i*y(n+1)
cos(z)=cosh(iz)=(e^(iz)+e^(-iz))/2
cos(x)=cos(-x)
sin(x)=-sin(-x)
e^(ix)=cos(x)+i*sin(x) [Eulerformel]
d.h.:
z(n+1)=1/cosh(iz)+c
=1/cosh(ix-y)+a+ib
=2/(e^(ix-y)+e^(-ix+y))+a+ib
=2/(e^(ix)/e^(y)+e^(-ix)*e^(y))+a+ib
=2e^y/(e^(ix)+e^(-ix)*e^(2y))+a+ib
=2e^y/(cos(x)+i*sin(x)+e^(2y)*cos(x)-e^(2y)*sin(x))+a+ib
=2e^y/((1+e^(2y))*cos(x)+i(1-e^(2y))*sin(x))+a+ib
Erweitern mit konjugiert komplexem Nenner:
(2*e^y*(1+e^(2y))*cos(x)-i*2*e^y*(1-e^(2y))*sin(x))/((1+e^(2y))^2*(cos(x))^2+(1-e^(2y))^2*(sin(x))^2)+a+ib
Diesen Term kann man jetzt aufspalten in Real-und Imaginärteil:
x(n+1)=2e^y*(1+e^(2y))*cos(x)/((1+e^(2y))^2*(cos(x))^2+(1-e^(2y))^2*(sin(x))^2)+a
y(n+1)=-2e^y*(1-e^(2y))*sin(x)/((1+e^(2y))^2*(cos(x))^2+(1-e^(2y))^2*(sin(x))^2)+b
Ich hoffe mal mir ist kein Fehler unterlaufen;)
MfG
C. Schmidt
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Pascal R.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. März, 2002 - 13:22: |
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Hi Christian
Danke für die Hilfe.
Hab die Gleichung getestet und scheint zu funktionieren
MfG
Pascal |
Pascal R.
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. März, 2002 - 14:02: |
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Hi Christian
Danke für die Hilfe.
Hab die Gleichung getestet und scheint zu funktionieren
MfG
Pascal |
Christian Schmidt (christian_s)
Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 28
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 16:50: |
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Hi Pascal
Ich hab da noch eine viel einfachere Lösung gefunden:
sin(ix)=i*sinh(x)
cos(ix)=cosh(x)
cos(x+y)=cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y)
:
1/cos(x+iy)=1/((cos(x)*cos(iy)-sin(x)*sin(iy))
=1/((cos(x)*cosh(y)-i*sin(x)*sinh(y))
=cos(x)*cosh(y)/((cos(x)*cosh(y))^2+(sin(x)*sinh(y))^2)+i*sin(x)*sinh(y)/((cos(x)*cosh(y))^2+(sin(x)*sinh(y))^2)
Mit w=1/cos(z) und z=x+iy gilt also:
Re(z)=cos(x)*cosh(y)/((cos(x)*cosh(y))^2+(sin(x)*sinh(y))^2)
Im(z)=sin(x)*sinh(y)/((cos(x)*cosh(y))^2+(sin(x)*sinh(y))^2)
MfG
C. Schmidt |
Christian Schmidt (christian_s)
Mitglied
Benutzername: christian_s
Nummer des Beitrags: 29
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 16:51: |
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Re(w) und Im(w) muss das natürlich heißen.
MfG
C. Schmidt |
