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Pryce (Pryce)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 14:44: | 
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Hi!
Ich weiß, bei Ableitungen wird immer wieder gerne auf Mathematica o.ä. verwiesen, da bin ich auch schon gewesen, leider bekomme ich dort zwar das Ergebnis, aber keinen Hinweis darauf, wie man dazu kommt und für meine Facharbeit brauche ich auch den Lösungsweg...
Die Funktion lautet:
f(x) = Sqrt{(x-3)^2/[9*x^2-x^2*(x-3)^2]}*{[27*x/(3-x)^3]-x}
Definitionsmenge: D = ]0;6[ \ {3}
Ich hoffe, ihr könnt mir die Ableitung geben (inklusive Lösungsweg)! Wie es ausschaut braucht man dafür ja Produkt-, Ketten- UND Quotientenregel und da bekomme ich einfach kein vernünftiges Ergebnis heraus!
Vielen, vielen Dank!
Pryce |
K.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 16:27: |
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Hallo Pryce
f(x) = Sqrt{(x-3)²/[9*x²-x²*(x-3)²]}*{[27*x/(3-x)³]-x}
Also, ich würde vorschlagen, wir formen das Ding erst mal etwas um. So sind beim Ableiten die Fehler sicher vorprogrammiert.
Teilweises Wurzelziehen bringt
f(x)=[(x-3)/x]*sqrt{1/[9-(x-3)²]}*{[27x/(3-x)³]-x}
2.geschweifte Klammer auf Hauptnenner (3-x)³ bringen; also
f(x)=[(x-3)/x]*sqrt{1/[9-(x-3)²]}*{[27x-x(3-x)³]/(3-x)³}
Faktoren vertauschen
f(x)={[(x-3)*(27x-x(3-x)³]/[x*(3-x)³]}*sqrt{(1/[9-(x-3)²]}
Aus (x-3) -1 ausklammern: wird zu -1(3-x) und aus
(27x-x(3-x)³) x ausklammern: x(27-(3-x)³);
also
f(x)={[-1(3-x)*x(27-(3-x)³]/[x*(3-x)³]}*sqrt{(1/[9-(x-3)²]}
Nun kann man mit x und 3-x kürzen
f(x)={[-1*(27-(3-x)³]/[(3-x)²]}*sqrt{(1/[9-(x-3)²]}
f(x)=[(3-x)³-27]/[(3-x)²*sqrt{9-(x-3)²}]
f(x)=[(3-x)³-27]/[(3-x)²sqrt(9-x²+6x-9)]
f(x)=[(3-x)³-27]/[(3-x)²*sqrt(6x-x²)]
Statt der Wurzel nun noch hoch 1/2 schreiben
f(x)=[(3-x)³-27]/[(3-x)²*(6x-x²)1/2]
Sei nun u=(3-x)³-27 und v=(3-x)²*(6x-x²)1/2
Dann gilt
u'=3*(3-x)²*(-1)=-3(3-x)² und
v'=2(3-x)*(-1)*(6x-x²)1/2+(3-x)²*(1/2)(6x-x²)-1/2*(6-2x)
=-2(3-x)(6x-x²)1/2+(3-x)³(6x-x²)-1/2
=[-2(3-x)(6x-x²)+(3-x)³]/(6x-x²)1/2
=[(3-x){-2(6x-x²)+(3-x)²}]/(6x-x²)1/2
=[(3-x)(-12x+2x²+9-6x+x²)]/(6x-x²)1/2
=[(3-x)(3x²-18x+9)]/(6x-x²)1/2
=> f'(x)={[-3(3-x)²*(3-x)²*(6x-x²)1/2]-[((3-x)³-27)*(3-x)(3x²-18x+9)/(6x-x²)1/2]}/[(3-x)4(6x-x²)]
=[-3(3-x)4(6x-x²)1/2-((3-x)³-27)(3-x)(3x²-18x+9)/(6x-x²)1/2]/[(3-x)4(6x-x²)]
=[(3-x)(-3(3-x)³(6x-x²)1/2-((3-x)³-27)(3x²-18x+9)/(6x-x²)1/2]/[(3-x)4(6x-x²)]
=[-3(3-x)³(6x-x²)1/2-((3-x)³-27)(3x²-18x+9)/(6x-x²)1/2]/[(x-3)³(6x-x²)]
=[-3(3-x)³(6x-x²)-((3-x)³-27)(3x²-19x+9)]/[(3-x)³(6x-x²)3/2]
=[(3-x)³{-3(6x-x²)-(3x²-18x+9)}+27(3x²-18x+9)]/[(3-x)³(6x-x²)3/2]
=[(3-x)³(-18x+3x²-3x²+18x-9)+27(3x²-18x+9)]/[(3-x)³(6x-x²)3/2]
=[-9(3-x)³+27(3x²-18x+9)]/[(3-x)³(6x-x²)3/2]
=-9[(3-x)³-3(3x²-18x+9)]/[(3-x)³(6x-x²)3/2]
=-9[27-27x+9x²-x³-9x²+54x-27]/[(3-x)³(6x-x²)3/2]
=-9(27x-x³)/[(3-x)³(6x-x²)3/2]
Ich hoffe das stimmt so.
Bitte rechne alles nach.
Mfg K. |
Pryce (Pryce)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 17:10: |
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Wow!! Also auf den ersten Blick habe ich keinerlei Fehler feststellen können! Da das aber nichts heißt, habe ich das Endergebnis mal in meinen TR eingegeben und der hat mir gezeigt, dass dein Ergebnis bei ca. 5,196 eine Nullstelle hat und genau dort ist die Wendestelle der Stammfunktion, die ich nachweisen musste! Du hattest mir nämlich die 2. Ableitung der Konchoide des Nikomedes berechnet!
Uff - das hätte ich so nie geschafft...:-)
Danke,
Pryce |
Pryce (Pryce)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 18:10: |
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Ich habs mir noch mal angeschaut und (glaub ich) leider doch einen Fehler entdeckt:
Gleich zu Anfang beim teilweisen Wurzelziehen muss es dann aber doch |x-3| heißen, oder? Denn vor und nach dem Wurzelziehen schauen die Graphen unterschiedlich aus und die Definitionsmengen haben sich verändert...
Weißt du, wie es dann geht? |
Pryce (Pryce)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Februar, 2002 - 10:30: |
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Kann mir hier denn keiner mehr weiterhelfen?? :-(
Brauche die Ableitung echt dringend, verrechne mich nur immer wieder, weil die so kompliziert und lang ist! |
Thomas
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Februar, 2002 - 14:19: |
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Hi,
betrachte einfach 2 Fälle:
Erstens 0<x<3. Dann ist x-3 positiv und die Rechnung steht oben.
Zweitens 3<x<6. Dann klammerst du 3-x aus. Rechnung bleibt dieselbe. Nur das Vorzeichen ändert sich.
Grüße,
Thomas
PS: Rein interessehalber: Wie lautet das Thema deiner Facharbeit? |
Thomas
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Februar, 2002 - 14:20: |
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Sorry, habe die beiden Fälle genau vertauscht. |
Pryce (Pryce)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Februar, 2002 - 14:53: |
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Danke, Thomas!
Mein Thema lautet: "Die Konchoide des Nikomedes bzw. die Strophoide interpretiert als Ortslinie eines Hundes und ihre Darstellung als algebraische Kurven"!
Ich bin für die Konchoide zuständig. |
Thomas
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Februar, 2002 - 18:01: |
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Hab ich richtig gelesen? Ortslinie eines HUNDES ?
Rätselhaft ... Zugegeben, ich habe auch keine Ahnung, was eine Strophoide oder Konchoide ist.
Kommt der Hund im Ausgangsproblem vor oder was hat es damit auf sich?
Falls kurze Antwort möglich, würde ich mich darüber freuen.
Falls es nicht kurz zu erklären ist, lass es. So wichtig ist es nicht.
Grüße,
Thomas |
Belinda
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 08:52: |
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Hallo Pryce und Thomas,
Über die Hundskurve gibt es mehr bei:
http://www.fh-lueneburg.de/u1/gym03/expo/jonatur/wissen/mathe/kurven/konchoid.htm |
Pryce (Pryce)
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 14:12: |
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@Belinda: Stimmt, leider nur nicht all zu viel:-)!
@Thomas: In meinem Fall gibt es einen Weg, der 3 Meter von einem Baum entfernt steht. Das Herrchen geht mit seinem Hund, der an einer 3 Meter langen Hundeleine ist, diesen Weg entlang und der Hund will a) zum Baum hin - oder b) weg von ihm (z.B. weil dort ein ganz großer Hund steht). Der Weg den der Hund dann geht, heißt Konchoide! Nikomedes hatte die einst entwickelt, weil man damit Winkel dreiteilen und Volumina von Würfeln verdoppeln kann.
Bei der Strophoide ist es so, dass der Hund an einer (unendlich langen) ausziehbaren Leine geht und diese am dem Baum am nächsten liegenden Punkt auf dem Weg 0 Meter lang ist, und mit jedem Meter, den sich das Herrchen von dem Punkt entfernt, um genau die gleiche Anzahl Meter länger wird!
Ok, war nicht kurz...:-)
Gruß,
Pryce |
Thomas
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 16:28: |
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Hi Pryce,
Klingt ganz interessant - vor allem der Zusammenhang mit der Winkeldrittelung und der Verdoppelung des Würfels. Werde mal ein bißchen nachforschen. Ein wenig irritiert mich, dass die beiden obigen Probleme ja NICHT mit Zirkel und Lineal lösbar sind, somit die Konchoide nicht mit Zirkel und Lineal konstruierbar sein dürfte.
Der Funktionsterm sieht aber nicht so "schlimm" aus. Wurzeln, Potenzen etc. sind ja konstruierbar.
Aber vielleicht schließe ich da ja auch etwas vorschnell...
Sollte mich vielleicht erstmal kundig machen.
Danke jedenfalls für die schnelle Antwort. Auch an dich, Belinda, für den Link.
Grüße,
Thomas |
Pryce (Pryce)
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 17:14: |
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Hi Thomas!
Gerade weil Winkeldreiteilung und Würfelverdoppelung nicht elementar lösbar sind, hat Nikomedes (ca.200 v.Chr.) die Konchoide (bzw. eigentlich nur den äußeren Ast) entwickelt. Er hat dazu auch extra den Konchoidenzirkel entwickelt, mit dem man halt Konchoiden entwickeln kann.
Am einfachsen ist es aber immer noch mit dem guten "alten" PC: durch den Mittelpunkt eines Kreises, der auf dem "Weg" fixiert ist(also immer irgendwo dort ist), eine Ursprungsgerade ziehen und dann die Ortslinien der Schnittpunkte der Geraden und des Kreises aufzeichnen, die entstehen, wenn man den Kreis auf dem Weg bewegt. Und fertig ist die Koncoide!
Gruß,
Pryce |
Pryce (Pryce)
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 17:15: |
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Ups... da war ich wohl zu ungeduldig und habe gleich 2 Mal gepostet... |
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