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Gerd (Elysis)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 01:04: | 
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Hat jemand 'ne Idee, wie ich von der rekursiven Definition der Folge
an+1 = an + an-1 zur quadratischen Gleichung des Goldenen Schnittes
x*x + x - 1 = 0
komme ?
Dem Durchblicker dankt im Voraus...
elysis :-) |
Jarraya
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 02:49: |
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Könnte das das richtige sein:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/22437.html
? |
Michael
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 11:04: |
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Schon Kepler wies darauf hin, dass die Verhältnisse aufeinanderfolgenden Fibonacci-Zahlen sich dem Goldenen Schnitt nähern.
Eine Strecke AB wird durch einen Punkt C im Verhältnis des Goldenen Schnittes geteilt, wenn sich die kürzere Teilstrecke zur längeren Teilstrecke so verhält, wie die längere Teilstrecke zu AB. Bezeichnet man die längere Teilstrecke mit x und die kürzere Teilstrecke mit 1-x, so muss also gelten
x : 1 = (1-x) : x.
Also ist x (positive) Lösung der quadratischen Gleichung
x2 + x - 1 = 0.
Bezeichnet man diese Zahl mit rho, so hat man
rho = (√(5) –1) / 2 = 0.61803...
Bezeichnet -phi die negative Lösung der obigen quadratischen Gleichung, so gilt
phi = (√(5)+1)/2 = 1.61803...
und diese Zahl phi wird auch Goldener Schnitt genannt.
Außerdem sind phi und -rho die Lösungen der quadratischen Gleichung
x2 - x - 1 = 0.
Also gilt phi2 = phi + 1, woraus durch Multiplikation mit phin folgt
phin+2 = phin+1 + phin
für alle natürlichen Zahlen n. Daher zeigt eine vollständige Induktion, dass man jede Potenz von phi als Linearkombination von phi und 1 schreiben kann, etwa als
phin+2 = an+2 x phi + an+1 x 1.
Für die Koeffizienten an gilt hierbei offensichtlich a1 = 1 und a2 = 1 sowie die Rekursionsvorschrift
an+2 = an+1 + an.
Es handelt sich also um die Fibonacci-Folge. Dieselben Überlegungen treffen natürlich ebenfalls auf die andere Lösung -rho derselben quadratischen Gleichung zu, so dass man auch erhält
(-rho)n+2 = an+2 x (-rho) + an+1 x 1.
Bildet man nun die Differenz der Formeln für phin+2 und (-rho)n+2, so erhält man
phin+2 - (-rho)n+2 = an+2 (phi + rho).
Mit den oben angegebenen Werten für phi und rho erhält man so eine explizite nichtrekursive Darstellung der Fibonacci-Zahlen
an = 1/√(5) x (phin - (-rho)n) (Formel von Binet)
zunächst für n>2, was man aber auch für n=1 und n=2 bestätigt.
Hieraus ersieht man wegen | -rho | < 1, daß einerseits die Fibonacci-Zahlen mit wachsendem n gegen 1/√(5) x phin streben und andererseits der Quotient an+1/an zweier aufeinanderfolgender Fibonacci-Zahlen gegen phi strebt.
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Gerd (elysis)
Neues Mitglied
Benutzername: elysis
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Registriert: 01-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 01. April, 2002 - 11:46: |
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Mal wieder vielen lieben Dank, Leute.
Die Beiträge waren in der Tat sehr erhellend für mich... 
Gruß,
elysis |
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