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aswab (Aswab)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Februar, 2002 - 17:15: | 
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folgende aufgabe :
es gibt reelle Zahlen b und c, für die die gerade durch R(3/b/c) und den Kugelpunkt P(3/-3/4) mit P [ungleich] R eine Tangente an die Kugel K ist. Welche Beziehung besteht zwischen b und c?
( M(7/1/6) ; r= 6)
so ich hab zwar die Lösung, jedoch probleme diese nachzuvollziehen!!
Lösung :
Die gerade durch den Punkt R(3/b/c) und den Kugelpunkt P(3/-3/4) iste tangente im Punkt P an die Kugel K, wenn der Punkt R in der tangentialebene T von P liegt.
T : (3-7)(x1-7) + (-3-1)(x2-1) + (4-6)(x3-6) = 36
bzw.
T: - 4x1 - 4x2 - 2x3 = - 8
{das ist doch die kugelgleichung und der Punkt P eingesetzt, warum gibt es dann immer noch x in der gleichung??)
Punktrpobe für r leifert :
-4*3 -4*b -2*c = -8
c= -2b - 2
Die Gerdae durch R und P ist Tangente an K, wenn c = -2b-2 gilt, wobei b [ungleich] c ist. |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 12:32: |
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Hi aswab ,
Es gibt einen wesentlich einfacheren Lösungsweg, als der skizzierte mit
der Tangentialebene darstellt, auf diese Methode werde ich am Schluss
gleichwohl eingehen.
werde.
Wir ermitteln die Vektoren u = RP und v = PM und verlangen, dass sie
senkrecht sind, indem wir ihr Skalarprodukt null setzen.
Ausführung :
u = {0 ; -3 - b ; 4 – c } , v = { 4 ; 4 ; 2 } ,
Skalarprodukt u . v = 0 * 4 + (-3 - b)*4 + (4 - c)* 2 = 0 ,also
- 4 – 4 b – 2 c = 0 , daraus
c = - 2 * b – 2
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Die Gleichung der gegebenen Kugel lautet:
(Koordinatenschreibweise x,y,z statt x1,x2,x3)
(x-7)^2 + (y-1)^2+(z-6)^2= 36.
Durch den so genannten Polarisationsprozess entsteht daraus die
Gleichung der allgemeinen Tangentialebene dieser Kugel mit
P1(x1/y1/z1) als Berührungspunkt.
Diese Gleichung lautet:
(x1—7)*(x-7) + (y1-1)*(y-1)+ (z1-6)*(z-6) = 36.
In Deinem Beispiel ist der Berührungspunkte P1= P(3/-3/4)
vorgegeben.
Wir setzen also x1= 3 , y1= - 3 , z1 = 4 in die letzte Gleichung ein
und erhalten:
-4*(x-7) + (-4)*( y- 1) + (-2) *( z - 6) = 36 ;
wir lösen die Klammern und vereinfachen ; es kommt
-4 * x – 4 * y – 2* z = - 8 oder 2*x + 2*y + z = 4
als Gleichung der Tangentialebene.
Nun verlangen wir einfach, dass der Punkt R(3/b/c) auf dieser
Ebene liegt, indem wir die Koordinaten von R einsetzen:
6 + 2*b + c = 4 oder
c = - 2 * b – 2 wie oben.
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Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
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