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Schnittpunkt(e) zweier Kreise

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » ---- Archiv: Klassen 12/13 » Analytische Geometrie » Dreiecke/Vierecke/Kreise » Schnittpunkt(e) zweier Kreise « Zurück Vor »

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Timo (Derknuff)
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Veröffentlicht am Freitag, den 15. Februar, 2002 - 14:48:   Beitrag drucken

Hallo!

1.
Ich bitte um Hilfe bei der Schnittpunkt-Berechnung
zweier Kreise:

k1: [x - (1;1)]^2 = 4
k2: [x - (4;2)]^2 = 9

Wie man die Schnittpunkte von Geraden und Kreisen
berechnet, ist mir klar.
Doch wie verfaehrt man bei zwei Kreisen (Kugeln)?

###

2.
(Wie) Kann man anschaulich erklaeren, dass die
Differenz der Kreisgleichungen eine Gleichung fuer
die Verbindungsgerade der Schnittpunkte ist?

###

3.
Problem: Bestimme die Zahl c so, dass die Gerade
g: 3*x1 - x2 = c den Kreis
k: x1^2 + x2^2 = 25 beruehrt.

###

das wars, viele Gruesse und danke im voraus!

Timo
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Friedrich Laher (Friedrichlaher)
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Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 14:07:   Beitrag drucken

bitte 2) andere Lösen
1)

(k1).....: (x-1)² + (y-1)² = 4
(k2).....: (x-4)² + (y-2)² = 9
-----------------------------
(k1)-(k2): x(-2+8)+y(-2+4)+1-16+1-4=-5

6x - 2y = 13; y = (6x-13)/2 in (k1) oder (k2) einsetzen, Quadratische Gl. Lösen ->x ->y

3)n, Die Normale auf g, durch (0 | 0) muss g
im Abstand 5 von (0 | 0) schneiden

g: x2 = 3*x1 - c
n: x2 = -x1/3
Schnitt
n,g: 3*x1 - c = -x1/3; 10*x1/3 = c; x1 = 3*c/10

(3*c/10)² + [-(3*c/10)/3]² = 25
10c²/100 = 25
c = 5*Wurzel(10)
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H.R.Moser,megamath
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Veröffentlicht am Samstag, den 16. Februar, 2002 - 14:25:   Beitrag drucken

Hi Timo

Zu Punkt 3

Ich bezeichne die Koordinaten mit x , y statt mit x1 , x2.

Erster Lösungsweg : Diskriminantemethode
Aus der Geradegleichung berechnen wir y = 3x – c und setzen den Term in die Kreisgleichung x^2 + y^2 = 25 ein; es kommt:
x^2 +(3x – c)^2 = 25 , Klammern gelöst und geordnet:
10 * x^2 – 6 * c x + c^2 –25 = 0.
Diese quadratische Gleichung liefert als Lösungen die x-Werte
der beiden Schnittpunkte von g mit k
Damit g zur Tangente wird, fordern wir, dass diese beiden Lösungen
zusammenfallen.
Dies ist der Fall, wenn die Diskriminante D der Gleichung null ist.
Wir ermitteln D mit der bekannten Formel D = B ^ 2 – 4 A C, wobei
A = 10 , B = - 6 c , C = c^2 – 25 gilt.; mithin:
D = 36 c^2 – 40 c^2 + 1000 = 0 , daraus entspringt eine quadratische
Gleichung für c:
c^2 = 250 , also c1,2 = (+ -) 5*wurzel(10)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°

Zweite Methode
Schneide den Kreis k mit einer zu g senkrechten Durchmessergeraden d
in den Punkten S1 , S2.
Die gesuchten Tangenten t gehen durch S1 und S2, parallel zu g.
Steigung m1 von g: m1 = 3 ; daraus Steigung m2 von t:
m2 = - 1 / m1 = - 1 / 3
Gleichung von d: y = - 1/3 * x + q
Da d durch den Mittelpunkt O(0/0) von k geht, ist q =0, somit kommt
y = - 1/3*x als Gleichung von d, eingesetzt in x ^ 2 + y ^ 2 = 25 gibt :
x ^ 2 +( - 1 / 3 x ) ^ 2 = 25 oder 10 * x^2 = 225, also
x = (+,-) 15 / wurzel(10) , dazu y = (- ,+) 5 / wurzel(10)
Diese Werte setzen wir in die Gleichung von t ein, welche lautet:
3 * x – y = c .
Wir erhalten für c die mit der ersten Methode berechneten zwei Werte,
nämlich
c1,2 = (+ -) 5*wurzel(10); mache die Probe!


Zu Punkt 2

Die beiden Kreisgleichungen seien
K1: x^2 + y^2 +A1x + B1y + C1 = 0
K2: x^2 + y^2 +A2x + B2y + C2 = 0
Durch Subtraktion entsteht die lineare Gleichung L:
(A1-A2) x + (B1-B2)y +C1-C2 = 0 ,
welche jedenfalls eine Gerade p darstellt.

Nebenbei bemerkt heisst diese Gerade
„Potenzgerade“ ; sie hat per se bestimmte geometrische
Eigenschaften bezüglich der beiden Kreise.

Unter anderem diese , dass p durch die Schnittpunkte der beiden Kreise geht.
Wenn also, wie in Punkt 1 verlangt, die Schnittpunkte zweier Kreise bestimmt
werden sollen ,wird man p ermitteln und einen der beiden Kreise K1 oder K2
mit p schneiden, was die Rechnung vereinfacht.

Knüpfen wir uns einen solchen Schnittpunkt S1 vor !
S1 liegt auf K1,daher erfüllen die Koordinaten von S1 die Kreisgleichung (I)
S1 liegt auf K2,daher erfüllen die Koordinaten von S1 die Kreisgleichung (II)
Die Koordinaten von S1 erfüllen aber auch die aus (I) und (II) entstandene
Gleichung L, d.h. S1 liegt eo ipso auf der Geraden p.

Knüpfen wir uns den zweiten Schnittpunkt S2 vor
S2 liegt auf K1,daher erfüllen die Koordinaten von S2 die Kreisgleichung (I)
S2 liegt auf K2,daher erfüllen die Koordinaten von S2 die Kreisgleichung (II)
Die Koordinaten von S2 erfüllen aber auch die aus (I) und (II) entstandene
Gleichung L, d.h. S2 liegt eo ipso auf der Geraden p.
Mit anderen Worten:
p ist die Verbindungsgerade der beiden Schnittpunkte S1 und S2.

Es gilt der Satz
Die Potenzgerade p zweier sich schneidenden Kreise ist ihre Schnittsekante.

Mitfreundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath.

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