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schnuppi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Februar, 2002 - 17:20: | 
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hallo, ich suche dringend einen beweis, dass gilt
d/dx arcsin(x) = 1/wurzel(1-x²)
bzw
INT 1/wurzel(1-x²) dx = arcsin(x)
wobei gilt
arcsin(sin(x))=x sowie
sin(arcsin(x))=x |
Lerny
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Februar, 2002 - 19:19: |
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Hallo schnuppi,
ich nehme an, dass dir bekannt ist, dass die Kosinusfunktion die Ableitung der Sinusfunktion ist.
Gehe von deiner letzten Gleichung aus:
sin(arcsin(x)) = x
wegen der Übersichtlichkeit der anzuwendenden Ableitungsregel bezeichne: arcsin(x) = f(x)
Ableiten beider Seiten der Gleichung sin(f(x)) = x nach x ergibt nach Kettenregel:
cos(f(x)) * f'(x) = 1 ; es gilt: cos(a) = Ö(1- (sin(a))² ), also gilt:
Ö( 1- (sin( f(x) ))² ) * f'(x) = 1
ersetze nun wieder f(x) = arcsin(x):
Ö( 1- (sin( arcsin(x) ))² ) * f'(x) = 1 , benutze die Identität sin(arcsin(x)) =x
=> Ö( 1- x² ) * f'(x) = 1
=> f'(x) = 1 / Ö( 1- x² )
f(x) = arcsin(x), also ist f'(x) = 1 / Ö( 1- x² ) die Ableitung der Arkussinusfunktion.
MfG Lerny |
schnuppi
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Februar, 2002 - 19:34: |
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vielen dank für die ausführliche und schnelle antwort, lerny!!! |
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