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Stefan Walter (Walliworld)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Februar, 2002 - 16:58: | 
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Hallo ich habe ein kleines Umformungsproblem! Ich muss den Grenzwert einer Folge Beweisen und so folgende Gleichung nach n umstellen!! Kann mir jemand helfen?? Es wäre dringent!
|n/(n^2)+1|<E
??? |
Ingo (Ingo)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 15. Februar, 2002 - 01:39: |
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Also wenn es |n/(n²+1)|<e heißen soll, dann geht das folgendermaßen :
|n/(n²+1)| = n/(n²+1) < e
<=> n < e(n²+1)
<=> 0 < {n²+1) - n/e
<=> 0 < n² - n/e + 1/(4e²) + 1 - 1/(4e²)
<=> 0 < (n-1/(2e))²+1-1/(4e²)
<=> 1/(4e²)-1 < (n-1/(2e))²
Ist e>(1/2), so ist die Gleichung auf jeden Fall erfüllt. Andernfalls formt man weiter um und erhält
n > (1+Ö(1-4e²)) / (2e)
Soweit die genaue Rechnung. Viel einfacher läßt sich die Konvergenz aber durch eine simple Abschätzung am Anfang beweisen.
Wegen n/(n²+1) = 1/(n+(1/n)) < 1/n genügt nämlich eine Betrachtung von 1/n < e. Folglich gilt für n>1/e die Ungleichung
n/(n²+1) < 1/n < e q.e.d. |
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