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Beitrag |
    
Pauli
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Februar, 2002 - 19:19: | 
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von y= ln x *x^(cosx)
brauch diese lösung dringend
für morgen
bitte
Pauli |
STEVENERKEL
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Februar, 2002 - 20:42: |
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ojeoje
Wer stellt denn solche Aufgaben ???
Du brauchst irgendwie die Ableitung von x^(cos(x)).
Das Problem ist aber, dass sich hier die Kettenregel nicht so direkt anwenden lässt.
Hoffe, dass das so zu lesen ist !
y=[ln(x)]*[x^cos(x)].
Probieren wirs mal(beachte x>0 muss vorausgesetzt werden):
[*]
g(x)=x^(cos(x))=[e^(ln(x)]^cos(x)=e^(ln(x)*cos(x)).
Das müssen wir nun ableiten:
Dann setzt du u=e^x und v(x)=(ln(x)) * cos(x).
Nun benutzt du die Kettenregel
( denn: Nach Definition von u(x) und v(x) ist:
[*]
g(x)=u(v(x))=e^((lnx)*cos(x)))
Dann ist g´(x)= u´(v(x)) * v´(x).
Also ist g´(x)=e^((ln(x))*cos(x)) * v´(x).
v´(x) errechnest du über die Produktformel zu:
v´(x)=(1/x)*cos(x) + (lnx) * (-sin(x))
= (1/x)*cos(x) - (lnx) * sin(x).
Also ist
[**]
g´(x)=e^((ln(x))*cos(x))* [(1/x)*cos(x) - (lnx) * sin(x)].
weiter umformen, wenns Sinn macht. Bin jetzt zu faul....
Beachte, dass g´(x) nun die Ableitung von g(x)=e^(ln(x)*cos(x))=x^(cos(x)) ist.
Dann kannst du das Ergebnis folgendermassen auf deine Funktion anwenden:
y(x)= (ln(x))* x^(cos(x))
Also ist y(x) = r(x) * g(x), wobei r(x)=ln(x) und g(x)=x^(cos(x)) ist.
Dann ist nach der Produktregel:
y´(x)= r´(x)*g(x)+ r(x)*g´(x).
Also gilt:
y´(x)=(1/x)*g(x)+ (ln(x))*g´(x)
g(x) findest du bei [*] und g´(x) bei [**]. Bitte einsetzen und weiterumformen !!!
Bin wieder mal zu faul !!!
Hoffe, dass dir das hilft und ich keinen Fehler gemacht habe.
Setze das nächste mal bitte Klammern, weil man deine Funktion auch als
y=ln(x*x^(cos(x))) lesen könnte. Die Ableitung ging aber ähnlich !!! Hier brächtest du die Ableitung für x^(1+cos(x)), welche du völlig analog zur obigen Lösung errechnen würdest ! Oder halt über Produktregel mit x*x^(cos(x)) !!!
I.A. solltest du dir merken:
Wenn im Exponent von x wieder eine Funktion in Abhängigkeit von x auftaucht, immer nach Möglichkeiten, die e-Funktion zu benutzen, suchen.
Wie du siehst, hats hier geklappt !
Hoffe, dass du den Weg verstehst. Ein bisschen sollst du aber auch selber machen, und nicht nur abschreiben. Deswegen habe ich hier nicht alles vorgerechnet !!!
Um die Umformungen zu verstehen, solltest du dir noch mal den Logarithmus anschauen.
VIEL SPASS BEIM GRÜBELN
STEVENERKEL |
STEVENERKEL
| | Veröffentlicht am Montag, den 11. Februar, 2002 - 20:49: |
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Und natürlich auch die Potenzrechnung:
z.B. (a,b aus R+ ohne {0}:
(a^x)^y=a^(x*y)=a^(y*x)=(a^y)^x.
bzw.
b^z=(e^(lnb))^z=e^(z*ln(b))
(denn: nach Def. ist e^(lnb)=b. Der Rest folgt aus Potenzrechnung(siehe oben ) !!!)
Grüsse
STEVENERKEL |
Pauli
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Februar, 2002 - 00:19: |
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Die problemstellung ist die erste ableitung zu finden indem die gleichung zunächst loarithmiert un anschließend differenziertr wird |
K.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Februar, 2002 - 10:36: |
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Hallo Pauli
y=lnx*xcosx |logarithmieren
=> lny=ln(lnx*xcos)
<=> lny=ln(lnx)+ln(xcos)
<=> lny=ln(lnx)+cosx*lnx
Mit (lny)'=y'/y folgt
y'=y*(lny)' also
y'=y*[(1/lnx)*(1/x)+[-sinx*lnx+cosx*(1/x)]]
y'=y*[1/(xlnx)-lnx*sinx+(1/x)*cosx]
y'=(lnx*xcosx)*[1/(xlnx)-lnxsinx+(1/x)cosx]
Hoffe, das stimmt so.
Mfg K. |
STEVENERKEL
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 12. Februar, 2002 - 14:20: |
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HALLO PAULI !
BITTE DAS NÄCHSTE MAL DIREKT ANGEBEN; WENN VORGEGEBEN IST, AUF WELCHE WEISE DU DIE AUFGABEN LÖSEN SOLLST !!!
Grüsse
STEVENERKEL |
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