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Sonja
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 16:46: | 
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Es wäre super, wenn mir jemand bei dieser Aufgabe helfen könnte:
Bestimme die Gleichung der Parabel 3. Grades, welche die Parabel mit der Gleichung y=1/4 x^2 in O berührt und in H(5; 25/4) ihren Hochpunkt hat. Berechne die Fläche A1, die von beiden Kurven umschlossen wird. Bestimme u>5 so, dass die Gerade x=u mit den beiden Kurven die Fläche A2=A1 begrenzt.
Vielen Dank im Voraus. |
K.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 09:40: |
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Hallo Sonja
allgemeine Gleichung der gesuchten Funktion ist
f(x)=ax³+bx²+cx+d
f'(x)=3ax²+2bx+c
Kurve geht durch O: f(0)=0 <=> d=0
Kurve hat in O die gleiche Steigung wie y=0,25x² => y'=0,5x => in O die Steigung m=0
also f'(0)=0 <=> c=0
Somit folgt für die gesuchte Funktion f(x)=ax³+bx²
Kurve geht durch (5|25/4): f(5)=25/4 <=> 125a+25b=25/4 <=> 5a+b=1/4
H ist Hochpunkt; also f'(5)=0 => 75a+10b=0 <=> 15a+2b=0
Gleichungssystem:
5a+b=1/4
15a+2b=0 auflösen
=> b=3/4 und a=-1/10
Funktionsgleichung f(x)=-(1/10)x³+(3/4)x²
Nun solltest du dir eine Skizze anfertigen.
Dann erkennst du, dass die Kurven zwei Schnittpunkte haben, der eine ist bei x=0, da sie sich dort berühren.
Den zweiten durch Gleichsetzen ermitteln.
=> x2=5
Für die eingeschlossene Fläche folgt dann
A1=ò0 5(-(1/10)x³+(3/4)x²-(1/4)x²)dx
=int{0,5}(-(1/10)x³+(1/2)x²)dx
=|-(1/40)x4+(1/6)x³|50
=|-625/40+125/6|=125/24=5,21
A2=ò5 u(1/4x²+(1/10)x³-(3/4)x²)dx
=ò5 u(1/10x³-(1/2)x²)dx
=|(1/40)x4-(1/6)x³|u5
=(1/40)u4-(1/6)u³-((625/40)-(125/6))
=(1/40)u4-(1/6)u³+(125/24)
Wegen A2=A1 folgt
(1/40)u4-(1/6)u³+(125/24)=125/24
<=>(1/40)u4-(1/6)u³=0
<=> u³((1/40)u-(1/6))=0
=> u=0 (keine Lösung, da u>5)
oder (1/40)u=1/6 <=> u=40/6=20/3=6,67
Mfg K. |
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