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Erich
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 16:21: | 
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Hab näh kleine Frage
aus einer Kugel x^2 + y^2 + z^2 <=R^2 wird ein Zylinder x^2+y^2<=A^2 wobei A<R ist. Man berechne das Volumen des Restkörpers
Wie geht das ?
Erich |
Nibbs
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 20:57: |
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Hallo Erich,
Wie soll denn aus einer Kugel ein Zylinder werden? |
ERich
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 15:21: |
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Es wird ein Zylinder heraus geschnitten
leiner Angebe Fehler |
Nibbs
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 16:08: |
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Ich glaube das ist ein roßer Anlabe Fehler! |
Erich
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 16:17: |
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Warum aus einer Kugel wird ein Zylinder heraus geschnittten
kann man das nicht rechnen |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Februar, 2002 - 22:56: |
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Hi Erich,
Bei der Aufarbeitung von Restanzen im Board bin ich auch auf Deine
Aufgabe gestossen, die Du vor einer Woche gestellt hast.
Dafür hast Du bis heute keine brauchbare Antwort erhalten.
Im Namen des Hauses möchte ich mich dafür entschuldigen
Bei der Formulierung der Aufgabe sollte zum Ausdruck gebracht werden,
dass bei der Durchbohrung die Achse des Rotationszylinders vom Radius b
durch den Mittelpunkt der Kugel vom Radius a mit a > b geführt wird.
Resultat :
Für das Volumen V° des RESTkörpers erhalten wir de Formel
V° = 4/3* Pi * (a^2 – b^2) ^(3/2).
Herleitung:
1.Methode :mit Integralrechnung:
Das Volumen V1 des herausgebohrten Kerns kann mit Hilfe eines
Dreifach-Integrals berechnet werden.
Wir benützen Zylinderkoordinaten; für das Raumelement dV gilt:
dV = r * dz * dr* d(phi) ;
phi läuft dabei von 0 bis 2 * Pi
r läuft von 0 bis b
z läuft von – wurzel(a^2 – r^2 ) bis wurzel(a^2 – r^2 )
Das Resultat ist, wie auch z.B. mit Maple bestätigt werden kann:
V1 = 4/3* Pi * [ a^3 – {wurzel(a^2-b^2)}^ 3 ]
Für V° bleibt der oben angegebene Wert.
2:Methode : mit elementarer Stereometrie.
V1 setzt sich additiv zusammen aus einem Zylindervolumen Z .
und zwei identischen Kalottenvolumina K.
V1 = Z + 2* K.
Der bei der Durchbohrung beteiligte Zylinder hat den Radius b und die Höhe
h = 2 * w mit w = wurzel (a^2 – b^2), somit
Z = Pi * b^2 * h = 2* Pi * b^2 * w.
Die Kalotten haben je die Höhe f = a – w ;die Volumenformel für die Kalotte lautet:
K = Pi * f ^2 / 3 * ( 3 * a – f );
Wir wollen K noch etwas umformen und für unsere Zwecke dienstbar machen:
K = Pi/3* (a-w)^2*{ 3*a- (a-w)}; w wird ersetzt:
K = Pi/3* (a^2 – 2*a*wurzel(a^2-b^2)+a^2 - b^2) * [2*a + wurzel(a^2-b^2)]
= Pi/3* (2*a^2 – 2*a*wurzel(a^2-b^2) - b^2) * [2*a + wurzel(a^2-b^2)]
= Pi/3* [4*a^3 – 4*a^2*wurzel(a^2-b^2)- 2* a b^2 + 2a^2*wurzel(a^2-b^2)
-2a (a^2-b^2) - b^2*wurzel(a^2-b^2)] =
Pi/3* [2*a^3 –2*a^2*wurzel(a^2-b^2) – b^2*wurzel(a^2-b^2)], somit
V1 nach obiger Formel:
V1= 4*Pi/3* [a^3–a^2*wurzel(a^2-b^2)-½ b^2 wurzel(a^2-b^2) +3/2*wurzel(a^2-b^2)]
= 4*Pi/3*[a^3 – a^2* wurzel(a^2-b^2) + b^2 * wurzel(a^2-b^2)] =
= 4*Pi/3*[a^3 - wurzel(a^2-b^2)*(a^2-b^2)] =
= 4*Pi/3*[a^3 - (a^2-b^2) ^ (3/2) ] wie mit der ersten Methode.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath. |
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