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serie
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 09:03: | 
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hallo
wer kann mir helfen diese aufgabe zu lösen:
gegeben ist die funktion f(x)=0.25x^4-2x^2+4
der graph von f schliesst mit der x-aschse eine fläche ein. dieser fläche wird nun ein rechteck mit zur x-achse und y-achse parallelen seiten einbeschrieben. wie gross ist die fläche jenes rechtecks, dass eine möglichst grosse fläche hat |
K.
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 10. Februar, 2002 - 09:01: |
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Hallo Serie
die Kurve von f(x) ist symmetrisch zur y-Achse.
Nullstellen sind f(x)=0
<=> 0,25x4-2x²+4=0 => x1=2 und x2=-2
Mach mal eine Skizze.
Das Rechteck ist damit ebenfalls symmetrisch zur y-Achse.
Ein Eckpunkt des Rechtecks sei A(u|0) mit 0<=u<=2
ein weiterer Eckpunkt des Rechtecks liegt nun genau senkrecht über A auf der Kurve und hat die Koordinaten B(u|f(u)).
Für die weiteren Punkte gilt:
C(-u|f(-u)) und D(-u|0)
Für den Flächeninhalt des Rechtecks gilt
A=2u*f(u) mit f(u)=0,25u4-2u²+4; also
A(u)=2u*[0,25u4-2u²+4]
=0,5u5-4u³+8u
=> A'(u)=2,5u4-12u²+8
A'(u)=0
<=> 2,5u4-12u²+8=0
<=> u4-4,8u²+3,2=0
substituieren mit u²=v
=> v²-4,8v+3,2=0
=> v1,2=2,4±Ö(5,76-3,2)
=2,4±Ö2,56
=2,4±1,6
=> v1=2,4+1,6=4 und v2=2,4-1,6=0,8
zurücksubstituieren liefert
u²=4 => u=2 oder u=-2
u²=0,8 => u=Ö0,8 oder u=-Ö0,8
Mit 2. Ableitung auf Maximum prüfen
=> u=Ö0,8
=> f(Ö0,8)=0,25*0,8²-2*0,8+4=2,56
=> A=2u*f(u)=2*Ö0,8*2,56=4,58 ist der Flächeninhalt.
Mfg K. |
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