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pizza
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 08:51: | 
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hallo zämä
wer mir verständlich diese aufgabe lösen?
einem kreisförmigen stück papier mit radius 20cm wird ein sektor mit dem zentriwinkel alpha ausgeschnitten und daraus eine kegelförmige tüte geformt. für welchen winkel alpha fasst die tüte am meisten |
pizza
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Februar, 2002 - 13:38: |
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wer kann mir helfen?????? |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Montag, den 18. Februar, 2002 - 23:45: |
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Hi pizza!
Ich kann Dir helfen! Leider nicht mehr heute Nacht, aber ich werde morgen früh sehen, was ich für Dich tun kann!
MfG, Integralgott |
Integralgott
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Februar, 2002 - 10:43: |
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Hallo pizza!
Nun bin ich wieder fit und mache mich sofort an Deine Aufgabe:
Zunächst fertige Dir eine Skizze an, eine vom Kreis mit Sektor und die andere vom entstehenden Kegel (der "Tüte")!
Folgende Benennungen:
Kreisbogen gegenüber von Winkel alpha: a
Radius des Kreises: R (gegeben)
Umfang des Kreises: U = 2*pi*R
Kegelhöhe: h
Kegelradius: r
Außenlinie des Kegels: R (ist ja der Kreisradius!)
Kegelvolumen: V=(1/3)*pi*r²*h
Ich werde die Berechnungen mit R und a durchführen, anstatt mit 20cm und alpha, da dann zunächst keine Einheiten vorkommen. Gesucht wird nun also das maximale Volumen des Kegels in Abhängigkeit von a. Später kann man dann a ersetzen durch folgende Beziehung
a/U = alpha/360°
und die Zahlenangabe von R wird entbehrlich.
In der Rechnung werde ich Wurzeln als W{...} darstellen.
Das Volumen des entstehenden Kegels soll maximal werden. Das gibt uns zunächst folgende Extremalbedingung:
V(r,h) = (1/3)*pi*r²*h
Diese Funktion ist von den Variablen r und h abhängig, nicht jedoch von unserem gewünschten a. Daher benötigen wir zwei Nebenbedingungen, in denen wir r und h durch a ersetzen.
1. Nebenbedingung:
Der Kreisbogen a entspricht genau dem Umfang der Grundfläche des Kegels:
a = 2*pi*r <=> r = a/(2*pi)
2. Nebenbedingung:
Wir betrachten das rechtwinklige Dreieck am Kegel mit den Seiten r, R und h. Der Satz des Pythagoras sagt uns:
h²+r² = R² <=> h = W{R²-r²}
Hier setzen wir noch das r aus der 1. Nebenbedingung ein und erhalten für h:
h = W{R² - a²/(4*pi²)}
Nun können wir r und h in die Extremalbedingung einsetzen und bekommen eine Funktion, die nur noch von a abhängt:
V(a) = (1/3)*pi*(a²/(4*pi²))*W{R² - a²/(4*pi²)}
Um den Extremwert zu finden, leiten wir die Funktion ab und setzen die Ableitung gleich null. Das erfordert einige Schreibarbeit, die auch Du allein ohne Schwierigkeiten hinbekommst (wenn Du ableiten kannst), daher hier nur die Ableitung und das Ergebnis:
V'(a) = (a/(6*pi)) * W{R² - a²/(4*pi²)} - (1/2) * (a/(6*pi)) * (a²/(4*pi²)) * 1 / W{R² - a²/(4*pi²)}
V'(a) = 0
=>
a = +/- W{2/3} * 2*pi*R
Da wir keine negative Länge kennen, hat nur das positive Ergebnis Gültigkeit:
a = W{2/3} * 2*pi*R = W{2/3} * U
Das ist also der Kreisbogen a, bei dem das Kegelvolumen maximal wird. Durch oben angedeutete Beziehung ersetzen wir nun das a und bekommen den dazugehörigen Winkel alpha:
alpha*U/360° = W{2/3}*U
<=>
alpha = W{2/3}*360° = 294° (ungefähr)
Damit ist die Aufgabe erledigt.
MfG, Integralgott |
Integrator II
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Freitag, den 22. März, 2002 - 17:27: |
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Hi Leute!
Brauche mal ne Lösung!
Bestimme einen Zylinder max. Volumens bei gegebener Manztelfläche!
b)Bestimme Zylinder max. Volumens bei gegebener Oberfläche!
Wer kann mir helfen? |
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