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Hannes
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Februar, 2002 - 07:56: | 
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Hab ein Problem bei folgendem Beispiel:
Ein Kinderplanschbecken hat die Gestalt einer Paraboloidschicht. Der untere Durchmesser beträgt 10dm, der obere Durchmesser 15dm. Die Höhe des Beckens ist 10dm. Das Becken wir bis auf 10cm unterhalb des oberen Randes mit Wasser gefüllt. Wieviel Liter Wasser sind dazu notwendig?
Die richtige Lösung sollte 1258,7 Liter sein.
Prinzipiell hab ich keine Probleme bei Volumsberechnungen, aber bei diesem Beispiel komme ich nicht einmal auf die Parabelgleichung drauf. Wieso hab ich auch einen unteren Durchmesser? Handelt es sich also um einen Parabelstumpf? Falls ja, wie schaut die dazugehörige Parabelgleichung aus?
Vielleicht kann mir ja wer bei dieser Aufgabe helfen? *hoff* |
K.
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Februar, 2002 - 10:46: |
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Hallo Hannes
ich schlage folgende Vorgehensweise vor.
Eine nach links geöffnete Parabel mit den Scheitelpunkt im Koordinatenursprung.
Die allgemeine Formel hierfür lautet:
y²=2*p*x
Diese Parabel wird von zwei Parallelen zur y-Achse geschnitten;
diese Parallelen schneiden die Parabel in den Punkten P1 und P2 mit P1(x1|y1²) und P2(x2|y2²)
Der Abstand von P1 zur x-Achse sei der untere Radius also y1=5 und der Abstand von P2 zur x-Achse sei der obere Radius also y2=7,5
Daraus folgt mit
y²=2px
für P1: 5²=2px1 und
für P2: 7,5²=2px2
Der Abstand von x1 und x2 ist die Höhe des Beckens; also 10
Damit gilt x2=x1+10
eingesetzt in die obigen Gleichungen folgt
5²=2px1 bzw 7,5²=2p(x1+10)=2px+20p
=> 7,5²=5²+20p
<=> 20p=7,5²-5²=31,25
=> 2p=3,125
die Parabel hat somit die Gleichung
y²=3,125x
Die Integrationsgrenzen sind x1 und x2-1=x1+9
mit x1=y1²/3,125=25/3,125=8 folgt x2=17
V=pi*ò8 17(3,125x)dx
=pi*|3,125x²/2|178
=pi*3,125|17²/2-8²/2|
3,125*pi*(144,5-32)=1104,466 dm³
Wird es bis zum Rand gefüllt, sind es 1276,272 dm³
Stimmt also auch nicht ganz.
Doch die Vorgehensweise dürfte richtig sein.
Vielleicht habe ich mich irgendwo verrechnet,
aber das siehst du sicher beim Nachrechnen.
Mfg K. |
Markus
| | Veröffentlicht am Freitag, den 08. Februar, 2002 - 15:34: |
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Hallo Jungs!
Ich würde folgende Lösung vorschlagen:
Zunächst betrachte ich eine allgemeine Parabel in 2.Hauptlage, also sprich y=a*x^2+c. Nun wähle ich das Koordinatensystem so, dass der untere Durchmesser auf der x-Achse liegt.
Daher haben die beiden Punkte die Koordinaten (5/0) und (7.5/10). Wenn man diese in die Parabelgleichung einsetzt, erhält man folgende zwei Gleichungen:
I: 10=56.25*a+c
II: 0=25*a+c
Ausgerechnet erhält man die Gleichung der Parabel y=8/25*x^2-8.
Da ich um die y-Achse integrieren möchte, muss ich zunächst einmal die Gleichung umformen. Man erhält x^2=25/8*y+25. Die Grenzen des Integrals sind nun 0 und 10 (wenn das Becken voll sein soll) bzw. 0 und 9, wenn man 10cm oben frei lässt.
Das Volumen lautet somit: pi*Integral[25/8*y+25,in den Grenzen 0 und 9] Ausgerechnet erhalte ich, wie K., 1104,466 dm^3.
Ich glaube, dass Deine angegebene Lösung daher nicht stimmt. Vermutlich soll das Becken nicht 10cm, sondern nur 1cm bis zum Rand gefüllt werden. Dann würde nämlich das richtige Ergebnis herauskommen!
Grüße, Markus. |
Hannes
| | Veröffentlicht am Samstag, den 09. Februar, 2002 - 18:39: |
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Danke K. und Markus für Eure Lösung! Ihr habt mir echt damit geholfen! |
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