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Beitrag |
    
Albert
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 21:41: | 
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y´+[(2-3x²)/x³]*y=1 ??
Bitte mit Lösungsweg! |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. März, 2000 - 00:30: |
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Hi Albert ,
Mit Deiner Aufgabe hast Du mich aus dem Busch geklopft , genauer aus dem Bett gejagt !
Ich werde nicht wieder ruhen, bis die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (DGL) vorliegt und Dir zur Verfügung steht.
Da liegt sie schon ; sie lautet : y = ½* x^3 + k * x^3 * e ^ (1 / x ^ 2 ) , k ist eine beliebige Konstante .
Jetzt aber zur Herleitung dieses Resultates:
Es liegt eine inhomogene lineare DGL erster Ordnung vor.
Wir lösen in einem ersten Schritt ( I ) die entsprechende homogene Gleichung
In einem zweiten Schritt (IIA) lösen wir die gegebene Gleichung dadurch ,dass wir zur allgemeinen Lösung der homogenen Gleichung aus ( I ) eine spezielle Lösung der inhomogenen Gleichung addieren., Diese spezielle Lösung wird auch partikuläres Integral der inhomogenen Gleichung genannt.. Es ist immer spannend , eine solche Sonderlösung zu suchen.
Es braucht etwas Spürsinn , auch Intuition genannt. Manchmal stellt sich jedoch ein Misserfolg ein.
Hat man jedoch - mit etwas Glück - eine partikuläre Lösung gefunden , gelangt man sehr rasch zum Ziel, nämlich durch eine einfache Addition zweier Funktionen; man nennt das Ueberlagerung oder Superposition.
Eine andere Lösungsmethode ( IIB ) benützt die sogenannteVariation der Konstanten der Lösung aus ( I ).
Zu ( I ) : Die homogene Gleichung lautet :y ' = ( -2 / x^3 + 3 / x) * y.
Wir Trennen die Variablen:
dy / y = ( - 2 / x ^3 + 3 / x) * dx ; die Integration auf der linken Seite führt auf ln.
Mit der Integrationskonstanten 1 / c , die wir auf der linken Seite bei ln einfügen ,kommt im ganzen:
ln (1 / c * y ) = 1 / x ^ 2 + 3 * lnx ; den ln rechts nehmen wir nach links und schreiben dort einen einzigen ln, also : ln ( y / (c * x ^3)) = 1 / x ^ 2 ( die rechte Seite zu integrieren war nicht schwierig , achte auf die Vorzeichen !) : Es erscheint nun eine e-Funktion, wenn wir nach y auflösen und schon haben wir die allgemeine Lösung der homogenen Gleichung , c ist dabei, wie gesagt , eine beliebige Konstante. Wir bekommen :
y = c * x^3 *e ^( 1 / x^2)
Zu (II A) : Um eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung zu erhalten, versuchen wir den Ansatz mit einer Potenzfunktion dritten Grades, nämlich mit y = a x^3 mit einer noch zu bestimmenden Konstanten a .
Wir gehen mit diesem Ansatz und mit y' = 3ax^2 in die inhomogene Gleichung ; diese lautet ja:
y ' = ( - 2 / x^3 + 3 / x )* y + 1 .
Alles eingesetzt führt auf eine Gleichung für die Konstante a:
3 a x^2 = ( -2 / x^3 + 3 / x ) * a x^3 + 1 ; dies vereinfacht sich zu : 3 a x^2 = -2a + 3a x^2 + 1 , also a = 1/2 ,
somit lautet die allgemeine Lösung der DGL : y = allgemeine Lösung der homogenen + spezielle Lösung der inhomogenen DGL
y = c * x ^ 3 * e ^ ( 1 / x ^ 2 ) + ½ * x^3 , mit c als Integrationskonstante
Fortsetzung mit (II B) folgt !
Inzwischen : Grüsse und gute Nacht !
H.R. |
H.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. März, 2000 - 08:09: |
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Hi Albert,
Fortsetzung / Motto :" ... bin schon da !" sagte der Igel zum Hasen.
Zu ( IIB ) : Im Laufe des Parcours werden wir auf ein Integral stossen , dessen Berechnung wir vorwegnehmen. . Es handelt sich um das unbestimmte Integral
J = int ( e ^ ( -1 / x ^ 2) / x ^3 * dx ) ; wir substituieren z = - 1 / x^2 damit wird dz / dx = 2 / x^3 oder dx = ½ * x ^ 3 dz . Unser Integral mutiert zu
int ( ½ * e^z *dz) woraus schliesslich J = ½ * e ( - 1 / x ^ 2 ) entsteht ( Formel 1 )
Jetzt nehmen wir die erwähnte Lösungsmethode "Variation der Konstanten" in Angriff:
Wir gehen aus von der allgemeinen Lösung der homogenen DGL und ersetzen darin die Konstante c durch die von x abhängige Funktion c(x) mit dem Ziel, eine DGL für eben diese Funktion c(x) zu erhalten. ( wir schreiben im Laufe der Rechnung wieder c und c' statt c(x) und c' (x) , halten aber im Hinterkopf fest , dass c nicht eine Konstante , sondern von x. abhängig ist..
Also setzen wir an: y = c(x) * x ^ 3 * e ^ ( 1 / x ^ 2 ) als modifizierte allgemeine Lösung der homogenen Gleichung. ( Formel 2 )
Wir berechnen nun mit der Produktregel daraus y '(x) (erster Faktor c(x) , zweiter Faktor x ^ 3 * e ^ ( 1 / x ^ 2 ); wir erhalten:
y'(x) = c' x ^3 e ^(1/x^2) + c * (3x^2 e^(1 / x ^2) - x ^3 * 2 / x^3 * e ^ ( 1 / x ^ 2) )
Jetzt erfolgt das grosse Einsetzen : sowohl y(x) als auch y ' (x) werden in die
gegebene inhomogene Gleichung eingesetzt :
c' * x ^ 3 e ^ / (1 / x ^ 2 ) + 3 c x ^ 2 e ^ (1 / x ^ 2 ) - 2 c e ^ ( 1 / x ^ 2 ) =
- 2 / x ^3 c x ^ 3 e ^ ( 1 / x ^2 ) + 3 / x c x^3 e ^( 1 7 x ^2 ) + 1
Es hebt sich einiges weg ,und das ist ein gutes Zeichen ! Es bleibt nur
c ' (x ) = e ^ ( - 1 / x^2) * x^(-3) . Wenn wir,um c(x) zu ermitteln ,diese Gleichung beiderseits integrieren , stossen wir auf das Integral aus Formel 1.
Wir erhalten sofort:
c( x ) = ½ e ^ ( - 1 / x ^ 2 ) + k , wobei k eine beliebige Konstante ist.
Dies setzen wir in Formel 2 ein und erhalten das gleiche Schlussresultat wie unter (IIA),
nämlich: y = (1/2 e ^ (-1 / x^2) + k) * x^3 * e ^ ( 1 / x^2 ) = ½ x^3 + k x ^3 e ^ ( 1 / x ^2 )
Nochmals Grüsse von H.R. |
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