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Beitrag |
    
Josef Prainsack
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 18:23: | 
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Prüfungsbeispiel:
Gesucht ist eine divergente Reihe deren Partialsummen beschränkt sind und der Limes für n-> unendlich der einzelnen Glieder 0 ist... |
Anonym
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 18:49: |
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Bist du dir ganz sicher, dass die Aufgabenstellung stimmt?Ich meine nämlich, dass eine Reihe genau dann konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen beschränkt ist. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 20:28: |
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Hi Josef.
Zunächst an Anonym:
Zu deiner Meinung gibt es ein ganz einfaches Gegenbeispiel. Nämlich an = (-1)n. Hier ist die Folge der Partialsummen (abwechselnd 0 und 1) beschränkt, aber nicht konvergent.
Bei diesem Beispiel ist aber der Limes der Folgeglieder nicht Null, wie von Josef gefordert. Also brauchen wir ein anderes.
Bertrachte an = 1/n. Hier ist der Limes der Folgeglieder Null. Außerdem ist die Reihe bekanntlich (?) divergent. Allerdings ist die Folge der Partialsummen nicht beschränkt.
Dieses Beispiel lässt sich aber so modifizieren, dass es den Prämissen genügt. Ich kann jedoch keine explizite Formel angeben, sondern es nur umschreiben.
Alle an werden mit einem Vorzeichen versehen. a1=1 ist positiv. a2=-1/2, a3=-1/3, a4=-1/4, ... , a11=-1/11 sind negativ. Dann ist die 11-te Partialsumme s11 = -1,02, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Jetzt kommen wieder eine Serie von positiven Folgegliedern a12=1/12,...,ak=1/k. Und zwar so viele, dass sk>1. Dann wieder so viele negative Folgeglieder ak+1=-1/(k+1), ... am=-1/m, dass sm<-1. Undsoweiterundsofort. Das kann man jetzt wahrscheinölich noch toller aufschreiben, aber ich hoffe, es ist klar, was gemeint ist. |
Fern
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 20:46: |
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Hallo allerseits,
Ich habe die Frage an anderer Stelle beantwortet mit:
1+1/2+1/3+1/4+.....
Alle Partialsummen sind beschränkt (wie verlangt)!
Von einer "Folge von Partialsummen" ist in der Aufgabenstellung keine Rede. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Freitag, den 24. März, 2000 - 21:44: |
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Fern, selbstverständlich ist die Folge der Partialsummen gemeint! Und die Folge der Partialsummen sn = 1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n wächst über jede Grenze.
Natürlich ist jedes einzelne sn beschränkt durch irgendwas. Sehr witzig! Wenn die Aufgabe so gemeint gewesen wäre, wie du sie interpretiert hast, hätte man sich die Voraussetzung "deren Partialsummen beschränkt sind" schenken können (da sie ja jede Reihe erfüllt). |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. März, 2000 - 07:13: |
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Hi Zaph,
Ich bin zwar kein Spezialist in Sachen Reihen, aber ich dachte immer:
Wenn die Partialsummenfolge konvergiert (also einen Grenzwert hat) so heißt die Reihe "konvergent".
Nach deiner Auffassung, suchen wir hier eine Reihe, deren Partialsummenfolge konvergiert, die aber trotzdem divergent ist.
Vielleicht kann uns Josef das Resultat mitteilen. |
Zaph
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. März, 2000 - 09:33: |
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Ich stimme mit dir überein: Eine Reihe ist genau dann konvergent, wenn die Folge der Partialsummen konvergiert. Die Summe der Reihe ist dann der Grenzwert der Partialsummen.
Die Folge, die ich oben versucht habe zu definieren, ergibt eine nicht konvergente Folge von Partialsummen; sie schwankt immer zwischen +1 und -1. |
Fern
| | Veröffentlicht am Samstag, den 25. März, 2000 - 10:52: |
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Hi Zaph,
Jetzt verstehe ich, was gemeint ist.
Deine Lösung müsste richtig sein.
Die Partialsummen müssen aber nicht unbedingt zwischen +1 und -1 schwanken sondern zwischen irgendwelchen Werten pendeln. (Nicht unbedingt zwischen 2 Werten).
Also: die Glieder der harmonischen Reihe gruppieren und die Gruppen abwechselnd mit plus und Minus versehen:
1-(1/2+1/3)+(1/4+1/5+1/6+1/7)-(1/8+1/9+...)+(...
Die Gruppen müssen immer mehr und mehr Glieder umfassen.
Das Problem ist, eine Gesetzmäßigkeit für die Anzahl dieser Glieder pro Gruppe zu finden.
Wenn ich nun spekuliere und frage:
Wenn diese alternierenden Gruppen ganz einfach: 1,2,3,4,5,usw...Glieder beinhalten, ist dann die Reihe konvergent? |
Andimad (Andimad)
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| | Veröffentlicht am Freitag, den 30. April, 2010 - 19:18: |
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hy ich habe auch ne frage wie kan man des X²+15x+150 Zerlegen in factoren durch grupieren der glieder und anwendung der Formeln fur abgekurztes rechnen |
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