| Autor |
Beitrag |
    
daniel....
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 20:30: | 
|
Ich hab's auch z.T. selber gelöst... Also:
1.) Gegeben ist die Funktion f(x) = 1 - e^2x / 1 + e^2x ... D=R ...
a) gelöst
b) Zeigen Sie, dass Gf punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. Geben Sie nun das Verhalten von f für x -> + unendlich.
c) Ableitung: gelöst = -4e^2x / (1+e^2x)^2
Ermitteln Sie das Monotonieverhalten von f und geben sie die Wertemenge von f an.
d) Der Ursprung des Koordinatensystems ist Wendepunkt von gf (gelöst). Berechnen Sie die Gleichung der Wendetangente.
e) Berechnen Sie f(1) auf zwei Dezimalen genau. Zeichnen Sie Gf unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse. (Wie sieht das ungefähr aus? Hab halt die Ergebnisse nicht )
2.) Begründen Sie, dass f umkehrbar ist. Bestimmen Sie für die Umkehrfunktion f^-1 Funktionsterm, Definitions- und Wertemenge. Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrfunktion Gf^-1 in das Koordinatensystem von Teilaufgabe 1e ein... (wie ungefähr sieht das aus?)
3.) a) Zeigen Sie, dass F(x) = x - ln (1+e^2x) mit D=R eine Stammfunktion von f ist. (wie kommt das ln dahin ?!?!)
b) Berechnen sie Integral von -1 bis 0.
c) Gf, Gf^-1 und die Geraden mit den Gleichungen x = -1 und y = 1 begrenzen im II. Quadranten ein Flächenstück. Berechnen Sie dessen Inhalt...
Also die 1 ging noch, aber dann wurde es mir einfach zu krass, besonders weil ich die Ergebnisse von 1 nicht alle habe. FLEHE UM HILFE :[ |
Friedrich Laher (Friedrichlaher)
| | Veröffentlicht am Montag, den 04. Februar, 2002 - 22:08: |
|
Rosinen gepickt bitte andere die Schwerarbeit
1b) Punktsymetrisch zum Ursprung bedeutet
f(-x) = -f(x)
(1 - e^(-2x))/(1 + e^(-2x)) = (e^2x -1)/(e^2x + 1) | *BeideNenner
e^2x - e^(-2x) +1-1 = e^2x - e^(-2x) -1+1 | rechts -e^(-2x+2x)=-1, links e^(2x-2x) = +1
e^2x - e^(-2x) = e^2x - e^(-2x)
x -> Undenlich: (u für unendlich):
f(u) = (1 - u)/(1 + u) = (1/u - 1)/(1/u + 1) = -1
f(-u) = +1
2) Umkehrfunktion
y = (1 - e^2x)/(1 + e^2x);
y + y*e^2x = 1 - e^2x
(1+y)*e^2x = 1-y
e^2x = (1-y)/(1+y)
x= 1/2ln( (1-y)/(1+y)
D: |R, -1 <= y <= 1
w: |R, -u <= x <= +u
Ich nehme an, damit das der Term für f-1 gefunden wurde ist auch die
Umkehrbarkeit begründet.
3a)
Einfach die Ableitung bilden, nach der Kettenregel für den ln(1+e1^2x)
F'(x) = 1 - ( 1 / (1+e^2x) ) * 2*e^2x = [( 1+e^2x - 1 ) / (1+e^2x) ]*2*e^2x
tja, mal nachrechnen
(1 - e^2x)/(1 + e^2x) = 1 - ( 1 / (1+e^2x) ) * 2*e^2x | * (1+e^2x)
1-e^2x = 1+e^2x - 2*e^2x = 1 - e^2x stimmt also
3b) also F(0) - F(-1) = [0 - ln(1+1] - [-1 - ln(1+1/e²)] = -ln2 + 1 + ln(1+1/e²) = 0.43378...
-----
x=-1 ist eine Asymptote der Umkehrfunktion
 |
|
