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Manuel
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 11:56: | 
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Hallo Leute!
Könnt ihr mir mal bei dieser Aufgabe helfen? Ich brauche sie noch heute (Sonntag), weil ich morgen Klausur schreibe!! 
f(x)= wurzel_aus(x(4-x^2))
Ich denke, dass ich die Nullstellen, Definitionsbereich, Symmetrieverhalten und den Schnitt mit der Y-Achse schon richtig rausbekommen habe.
Meine Probleme liegen jetzt bei den "hebbaren Definitionslücken", den "Polstellen" und den "Asymptoten". Das heisst, ich weiss nicht einmal, wie ich da etwas herausfinden kann (auch nicht bei anderen Funtionen).
Und was die Ableitungen angeht: Da wäre es toll, wenn sich jemand die Mühe machen würde, es ganz detailiert aufzuschreiben. Ich bekomme nämlich immer nur Unsinn heraus!! (Diese blöden Verschachtelungen!!!)
Ich danke euch schonmal im Voraus!!
MfG
Manuel |
Zaph (Zaph)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 14:18: |
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Hallo Manuel, wenn du den Definitionsbereich bestimmt hast, hast du hoffentlich das Intervall [0,2] vereinigt mit dem Intervall [-oo,-2] herausbekommen. Definitionslücken (stetig hebbare oder Polstellen) also Fehlanzeige.
Das Intervall (-2,0) ist zwar gewissermaßen auch eine Definitionslücke, wird aber meines Wissens nicht als solche bezeichnet.
Da für x -> oo die Funktion nicht definiert ist, erübrigt sich hier die Frage nach der Asymptote.
Für x -> -oo ist f(x) ungefähr gleich W(-x³), da die 4 hier vernachlässigbar ist. Genauer gilt:
f(x) - W(-x³)
= W(x(4 - x²)) - W(-x³)
= (W(x(4 - x²)) - W(-x³))(W(x(4 - x²)) + W(-x³))/(W(x(4 - x²)) + W(-x³))
= (x(4 - x²) + x³)/(W(x(4 - x²)) + W(-x³))
= 4x/(W(x(4 - x²)) + W(-x³))
Das geht gegen Null, da der Nenner stärker als der Zähler wächst. Also liegt mit W(-x³) eine krummlinige Asymptote vor.
Zur Ableitung:
f(x) = W(x(4 - x²)) = g(h(x))
mit der "inneren Funktion"
h(x) = x(4 - x²) = 4x - x³
und der "äußeren Funktion"
g(y) = W(y).
Innere Ableitung: h'(x) = 4 - 3x²
Äußere Ableitung: g'(y) = 1/(2W(y))
f '(x) = (innere Ableitung) * (äußere Ableitung)
= (4 - 3x²) / (2W(y)) = (4 - 3x²)/(2W(x(4 - x²)) |
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