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Beitrag |
    
Lisa1984
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 00:00: | 
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Hi!
Ich sitze nun schon 2 Stunden (!) an diesem Integral
1 - x^2/(1+x)^2
und kriege die Stammfunktion nicht hin!
Kann mir bitte jemand helfen??
Lisa |
Harald
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 07:50: |
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Hallo Lisa,
Ich kenne Dich zwar nicht aber nach einer solchen Überschrift zu urteilen tendiere ich dazu, die Frage zu bejahen! |
Marty (Marty)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 14:31: |
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Hallo Lisa!
Das sollte doch kein Problem sein:
(Ich hoffe, du meintest nicht 1 - [x^2/(1+x)^2])
1 - x^2/(1+x)^2 /Quotientenregel (und Kettenregel)
[2x*(1+x)² - (1-x²)*2*(1+x)*1] / (1+x)^4
Das kann man jetzt noch ein bissi vereinfachen (z.B. /(1+x))
Viel Spaß dabei,
lg,
MARTIN |
Christian
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 16:17: |
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Hmm, wenn man die Funktion ableitet statt zu integrieren ist das natürlich kein Problem ;)
Ich versuch das dann mal mit dem Integrieren:
Um die Aufgabe zu lösen musst du mehrmal die partielle Integration durchführen:
int(1-x^2/(1+x)^2)
=x-int(x^2*1/(1+x)^2)[Partielle Integration mit u=x^2 und v'=1/(1+x)^2]
=x-(-x^2/(1+x)+int(2x*1(x+1)))[Erneute Integration mit u=2x und v'=1/(x+1)]
=x+x^2/(1+x)+2ln(1+x)-2x
=-x/(x+1)+2*ln(x+1)
Den konstanten Summanden am Ende und das Differential dx habe ich hierbei mal überall weggelassen.
Ich zeige dir nochmal schnell wie man ln(x+1) integriert:
int(1*ln(x+1)) [mit 1=v' und ln(x+1)=u]
=x*ln(x+1)-int(x/(x+1))
=x*ln(x+1)-x+ln(x+1)
=(x+1)ln(x+1)-x
MfG
C. Schmidt |
L
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 18:14: |
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Hallo Christian,
ich bin mit deiner Lösung einverstanden :-)
(bis darauf, dass das Argument vom ln in Betragsstriche hätte gesetzt werden können,
wenn es erforderlich wäre, die Funktion auch für x<-1 zu definieren)
nur nicht damit, dass du schriebst:
"Um die Aufgabe zu lösen musst du mehrmals die partielle Integration durchführen"
Muss nicht.
Es gibt noch andere Wege, z.B. diesen:
Funktion vor der Integration umformen, dazu alles auf einen Nenner bringen:
1 -(x^2/(1+x)^2) = (1+x)^2/(1+x)^2 -x^2/(1+x)^2
= (1 + 2x + x² -x²)/(1+x)²
= (2x+1)/(x+1)², ergänze +1/(x+1)² -1/(x+1)²
= (2x+2)/(x+1)² - 1/(x+1)²
= 2/(x+1) - 1/(x+1)²
Stammfunktionen der Summanden sind sofort ablesbar:
2*ln|x+1| +1/(x+1)
(ja, das ist auch eine Stammfunktion, prüfe nach durch ableiten; der Unterschied zu -x/(x+1) +2*ln(x+1) kommt daher, dass man ein beliebiges c zur Stammfunktion addieren darf, und es bleibt immer noch eine Stammfunktion, so hier z.B. c=1)
Was anderes:
Hätte Lisa evtl. (1 - x^2)/(1+x)^2 gemeint, wäre der Term wieder erst umformbar:
(1-x)*(1+x)/(1+x)² = (1-x)/(1+x)
durch Substituion z=1+x ergibt sich dann:
int( (1 - x^2)/(1+x)^2 )dx = int( (1-x)/(1+x) )dx
= int ( (2-z)/z) dz
= int (2/z)dz + int(-1)dz
= 2ln|z| -z , rücksubst.
= 2ln|1+x| - x - 1
eine Stammfunktion von (1-x^2)/(1+x)^2 ist damit:
2ln|1+x| - x |
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