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Iris (Karotte)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 22:18: | 
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Hallo!
Ich habe hier eine recht merkwürdige Grenzwertaufgabe, die ich nicht ganz lösen kann. Sie lautet:
limx®-¥ xn * ekx
mit k>0 und n Element der natürlichen Zahlen.
Der Limes hier für ekx ist ja 0, aber xn wird ja für große, negative x-Werte und gerades n ¥, für ungerade n -¥, oder?? Und wird das Ganze dann trotzdem 0 (nach dem Motto 0*¥=0) ??
Für Hilfe schon einmal Danke im Voraus,
Iris |
Marty (Marty)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 14:22: |
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Hallo Iris!
Diese Frage ist leider nicht so einfach lösbar, dazu brauchst du den Satz von De l'Hospital - habt ihr den schon durchgenommen? Du formst erst um zu
(x^n)/(e^-kx)
Dann siehst du, dass - für gerade n - Zähler und Nenner gegen +unendlich streben, kannst also den Satz von De'l Hospital durchführen, was bei dieser Funktion kein größeres Problem ist. Letztlich wird sich dann herausstellen, dass die Funktion gegen 0 strebt, da die e-Funktion "schneller" gegen unendlich strebt als die Potenzfunktion x^n.
Hoffe, ich konnte dir helfen...
lg,
MARTY |
Iris (Karotte)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 18:40: |
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Hallo Marty!
Soetwas ähnliches hab' ich mir schon gedacht, ich hatte es einfach ausprobiert mit 'nem Kurvenplotter.
Da kam aber auch raus:
- für kleine k und große, gerade n wird das ganze unendlich,
- für kleine k und große, ungerade n wird's minus unendlich (für x®-¥)
Ansonsten sieht es, wie Du schon geschrieben hast, verdächtig nach 0 aus (großes k, egal welches n)!
Was meinst Du dazu?
Den Satz von De l'Hospital hatten wir noch nicht im Unterricht, ich finde ihn leider auch in keinem meiner Ma-Bücher oder Lexika.
Könntest Du ihn mir erklären oder ist er zu kompliziert??
Vielen Dank aber schon einmal für Deine Tipps!! :-)
Gruß,
Iris |
Marty (Marty)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 10:52: |
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Hallo Ines,
der Satz von De l'Hospital ist nicht in seiner Anwendung nicht kompliziert, der Beweis schon eher.
Wie groß k und n in deinem Beispiel sind, ist irrelevant, solange beide konstant sind (und damit nicht gegen +/-unendlich streben können. Dies wirst du gleich selbst sehen:
Der Satz von De l'Hospital besagt, dass der Grenzwert von einem Bruch, falls Zähler UND Nenner gegen +unendlich oder Zähler UND Nenner gegen 0 streben, gleich dem Grenzwert des Bruches der 1. Ableitung des Nenners und der 1. Ableitung des Zählers ist. Klingt kompliziert, ich zeigs dir an einem Beispiel:
lim x->unendlich: x/e^x
Beides strebt gegen +unendlich, daher können wir Zähler und Nenner ableiten, der limes ändert sich nicht:
= lim x->unendlich 1/e^x
jetzt ist klar: das ganze strebt gegen Null!
In deinem Fall ist es komplizierter. Wie schon gesagt, muss man das ganze erst in einen Bruch umwandeln:
lim x->-unendlich (x^n)/(e^-kx) /ableiten, da unendlich/unendlich:
lim x->-unendlich (n*x^(n-1))/(-k*e^(-kx))
So, jetzt wirds kompliziert, da der Exponent eine Variable ist, kommen wir so nicht weiter. Wir haben noch immer unendlich/unendlich, können also De l'Hospital nochmal anwenden. Allerdings hilft das so nicht, da wie gesagt, eine Variable im Nenner steht. Wir müssen also n-mal (!) ableiten, was etwas Abstraktion erfordert. Nach (n-1)-mal ableiten (da nach jeder Ableitung die Voraussetzung unendlich/unendlich noch erfüllt ist), haben wir:
lim x->-unendlich ((n-1)!* x)/((-k)^(n-1) * e^(-kx))
Das n-te Mal abliefern ergibt dann:
lim x->-unendlich n! / ((-k)^n * e^(-kx))
Man sieht sofort: Oben steht ein konstanter Wert, unten steht -k^n (auch const) mal die e-Funktion, die gegen minus unendlich strebt, also strebt der ganze untere Term alternierend gegen +/- unendlich (da -k^n das Vorzeichen wechselt). In jedem Fall gibt ein konstanter Ausdruck diviert durch +/- unendlich einen Grenzwert von Null.
Ich hoffe, dir ist jetzt alles klar ;-) Ich finde es toll, das du dich auch für Mathematik interessierst, die du im Moment in der Schule nicht brauchst. Falls du noch irgendwelche Fragen hast, richte dich ruhig an mich. Du kannst mir auch gerne emails schreiben.
Liebe Grüße,
MARTIN |
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