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Beitrag |
    
Goofy (Goofy)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 19:03: | 
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Gegeben ist die Funktion f mit
f(x)= (x^3-3x)/(x^2-4).
a) Gib den Definitionsbereich von f an, und untersuche den Graphen von f auf Symmetrie, Polstellen, Nullstellen, Extrempunkte, Wendepunkte und asymptotisches Verhalten.
b) Bestimme x mit 0<x<(Wurzel)3 so, dass das rechteck mit den Eckpunkten O(0/0), P(x/0),
Q(x/f(x)) und R(0/f(x)) einen maximalen Flächeninhalt hat.
c) Fur k Element R ist die Funktionenschar fk gegeben durch fk(x)=(x^3-kx)/(x^2-4).
Zeige, dass fk(x)=x+(4-k)* (x)/(x^2-4) ist und dass die Graphen von fk genau dann Extrempunkte besitzen, wenn k<4 ist. Bestimme die Ortslinie der Extrempunkte aller Funktionsgraphen von fk.
Es wäre sehr sehr nett wenn ihr mir beim lösen dieser Aufgabe helfen könntet!!!
DANKE!!! |
Thomas
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 22:17: |
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Helfen gerne, aber wo liegen die Probleme denn? Kann doch nicht sein, dass du gar nichts bei dieser Aufgabe hinbekommst, oder?
Thomas |
Luigi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 00:21: |
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a)
Def-Ber.:
x²-4 ‡ 0 <=> (x-2)*(x+2) ‡ 0 <=> x‡2
L
x‡-2
D= IR \ {-2;2}
Symmetrie:
Zählerfunktion: ungerade
Nennerfunktion: gerade
=> f(x) hat ungerade Symmetrie
Nullstellen:
Zähler =0 setzen => x=0 V x=±Wurzel(3)
Ableitungen bilden nach Quotientenregel:
1. Ableitung:
(x^4-9*x^2+12)/(x^2-4)^2
2. Ableitung:
2*x*(x^2+12)/(x^2-4)^3
3. Ableitung:
-6*(x^4+24*x^2+16)/(x^2-4)^4
Extrema: nur für die x, für die
x^4-9*x^2+12=0 => x=±2.71519, x=±1.27582
abwechselnd H, T, H, T
Funktionswerte durch einsetzen in f(x)
Wendepunkt: (0|0)
asymptotisches Verhalten:
Grad(Zähler) > Grad(Nenner), also keine waagrechte Asymptote.
(x^3-3x)/(x^2-4) = x(x^2-3)/(x^2-4) = x(1-3/x^2)/(1-4/x^2) ---> x für x--> ±oo
also f(x) gegen ±oo für x--> ±oo
Ásymptotenfunktion g(x) = x
Verhalten an Polstellen:
x ---> 2:
wenn x>2
f(x) --> +oo, da f(x)=x*(x²-3)/(x²-4) ein Produkt ist aus:
x>0, x²-3>0, 1/(x²-4)>0, denn x²-4>0 für x>2
Da von den Def-Lücken keine gleichzeitig Nullstelle des Zählers ist (hebbare Def-Lücke), liegen hier Polstellen vor.
Da der Nenner x²-4 unterschiedliches Vorzeichen hat, je nachdem, ob x<2 oder 2<x ist, liegt hier eine Polstelle mit Vorzeichenwechsel vor.
Für x --> -2 gilt wegen ungerader Symmetrie:
f(x) --> -oo für x<-2
f(x) --> +oo für -2<x |
Goofy (Goofy)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 13:41: |
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Die Aufgabe a hätte ich warsch. auch noch hinbekommen, aber b und c sind überhaupt nicht mein Fall!!!
Wie löst man die?????? |
Luigi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 16:07: |
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Das sagst du jetzt. Dann hätte ich die Zeit für a) ja in b) und c) investieren können. |
Thomas
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 18:21: |
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Hi Goofy, du stellst deine Aufgaben ins Internet ohne sie vorher probiert zu haben, kriegst eine ausführliche Antwort und bist auch dann noch nicht in der Lage, eine vernünftige Frage zu stellen. Man kann mit Mathe Probleme haben, aber deine Auftreten nach dem Motto "Vollständige, richtige Lösung, aber schnell" finde ich unverschämt.
@Luigi. Schade für die Mühe. Ich glaube nicht, dass sie sich gelohnt hat.
Thomas |
Luigi
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 21:12: |
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b) Flächeninhalt des Rechtecks mit den Eckpunkten O, P, Q und R
ist gleich A(x)=|OP|*|OR| = x*f(x)
für maximales A(x) setze A'(x)=0 und löse nach x.
c) fk(x)= x + (4-k)* (x)/(x^2-4)
= [ x*(x^2-4) +(4-k)*x ] / (x^2-4)
wird zu fk(x)=(x^3-kx)/(x^2-4).
Ableitung von fk(x)=x+(4-k)* (x)/(x^2-4) gleich Null setzen und nach x auflösen. Dies sollte nur auflösbar sein, wenn k<4 ist.
Extrempunktskoordinaten (x(k)|y(k)) bestimmen und x(k) nach k umstellen, dies in y(k) einsetzen => y(x) ist Ortslinie der Extrempunkte
nächstesmal konkrete Fragen? |
Goofy (Goofy)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 13:05: |
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Vielen Dank für eure (Deine) Hilfe!
Tut mir echt leid, dass ich mich so unklar ausgedrückt habe!
Wird nicht wieder vorkommen!! :-))
Nochmals vielen Dank
Goofy |
Goofy (Goofy)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 13:05: |
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Vielen Dank für eure (Deine) Hilfe!
Tut mir echt leid, dass ich mich so unklar ausgedrückt habe!
Wird nicht wieder vorkommen!! :-))
Nochmals vielen Dank
Goofy |
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