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Beitrag |
    
Sven Hannawald (Dilla)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 13:29: | 
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Die Integralfunktion: wurzel aus r*2-x*2 beschreibt allgemein die Fläche eines halbkreises. wie lautet die entsprechende stamfunktion,bitte mit Erklärung ,denn das ergebnis habe ich aber nicht den Lösungsweg! |
Friedrich Laher (Friedrichlaher)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 16:17: |
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ich schreib w(a) für Quadrtwurzel(a)
Akreis = 4*ò0 rw(r²-x²)dx
Akreis = 4r*ò0 rw(1-(x/r)²)dx
und
substituiere x/r = cos u, dx/r = -sin u du, dx = -r*sin u du
der Integrand wird zu -r*(sin u)(cos u) = -r*(sin2u)/2
kannste den Rest selbst? ( nach der Integration wieder zurücksubstituieren ) |
Friedrich Laher (Friedrichlaher)
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 18:54: |
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aber vielleicht habt Ihr ja schon gelernt wie man / dass man auch
eine
"paratmetrisch" gegebene Funktion integrieren kann:
für den Kreis wäre das
x=r*cos u, y = r*sin u, dx = -r*du*sin u
und für den 1/4Kreis eben u von 0 bis pi/2
das
Integral ist dann dasselbe wie oben.
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"den Kopf ganz aus der Schlinge" ziehen kann man in diesem Fall wenn man die Darstellung des Kreises in
Polarkoordinaten verwendet,
da diese r(u) = rKreis = konstant lautet, wobei u wieder das Winkelargument ist
und
das zu integrierende Flächenelement r * du ist
(u von 0 bis pi/2)
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DEN WERT DER ZAHL PI KANN MAN ABER MIT ALL DIESEN
VERFAHREN N I C H T ERRECHNEN, der wird schon
vorausgesetzt - für PI braucht man die Reihenentwicklung der inversen Trig.-Funktionen
oder andere numerische Verfahren. |
Sven Hannawald (Dilla)
| | Veröffentlicht am Samstag, den 02. Februar, 2002 - 11:48: |
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mir sind einige Zwischenschritte noch nicht ganz klar,wäre sehr nett,wenn sie diese noch hinzufügen könnten |
Friedrich Laher (Friedrichlaher)
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Februar, 2002 - 09:46: |
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(0) 4telKreisFläche = v = ò0 ry(x)dx; y=w(r²-x²);
(1) y = w(r²(1 - (x/r)²) = r*w(1 - (x/r)²)
(2a) Substitution x/r = cos u, x = r*cos u
.... differenzieren dx = x'(u)*du = r*(-sin u)*du
(3 ) Integrationsgrenzen:
.... x/r = cos u; arccos(x/r)= u
.... arccos(0) = pi/2 : substituierte untere Grenze
.... arccos(1) = 0000 : substituierte obere Grenze
(4 ) Einsetzen der Subsitutionen
(4a) y(x) = r*w(1 - cos²u) = r*sin u
(4b)y(x)dx= (r*sin u)*r*(-sin u)*du = -r²sin²u du; JA DA HAB ICH EINEN FEHLER GEMACHT
(4c) v = -r²òpi/2 0sin²u du was wegen sin²u = (1 - cos2u)/2 zu
(5) v = -(r²/2)òpi/2 0(1 - cos2u)du wird; das ò ist u - (sin2u)/2
also
(6) v = -(r²/2)[(0 - sin(0)/2) - (pi/2 - sin(pi)/2] = -r²[0-0 - pi/2 + 0]/2 = r²*pi/4
womit also die Kreisfläche 4*v = r²*pi wird
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BEI DER VERWENDUNG VON POLAR-KOORDINATEN ist das zu integrierende Flächenelement narürlich
r*(r*du)/2:
und
Kreisfläche = ò0 2pi(1/2)r²du = r²ò0 2pidu = r²pi |
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