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marlin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 13:10: | 
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hallo
ich brauche hilfe bei folgender aufgabe:
bestimmen sie die gleichungen der gemeinsamen tangenten der kreise:
k1 x-1)^2+(y+2)^2=9 und k2x-3)^2+(y-2)^2=1 |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 18:07: |
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Hi marlin ,
Die gegebenen Kreise haben die folgenden ausgezeichneten Daten:
Kreis k1, Mittelpunkt M1 (1/-2), Radius r1 = 3 ,
Kreis k2, Mittelpunkt M2 (3 /2), Radius r2 = 1 .
Besonderheiten dieser Daten lassen zwei gemeinsame Tangenten
aus einer Skizze sofort erkennen:
Die zur x –Achse parallele innere gemeinsame Tangente u1 mit der
Gleichung y = 1.
Die zur y– Achse parallele äussere gemeinsame Tangente v1 mit der
Gleichung x = 4.
Um die übrigen gemeinsamen Tangenten u2 , v2 zu ermitteln,
machen wir vom folgenden Satz aus der Aehnlichkeitslehre Gebrauch :
Teilt man die Verbindungsstrecke Strecke M1M2 der Mittelpunkte
Der beiden Kreise innen und aussen im Verhältnis der Radien r1:r2,
hier also im Verhältnis 3 : 1 , so erhält man den inneren
Aehnlichkeitspunkt I ,
beziehungsweise den äussern Aehnlichkeitspunkt A.
Die gemeinsamen innern Tangenten u1,u2 , sofern vorhanden,
schneiden sich in I ,
die gemeinsamen äussern Tangenten v1,v2 , sofern vorhanden,
schneiden sich in A.
Selbstredend liegen die Punkte I und A auf der Verbindungsgraden
der Mittelpunkte der beiden Kreise, auf der so genannten Zentrale z.
Für unser Beispiel gilt:
Gleichung von z: y = 2 x - 4 ( Gerade durch M1 und M2 )
Innerer Aehnlichkeitspunkt I als Schnittpunkt von u1 mit z ;
Resultat: xI = 5/2 , yI = 1
Aeusserer Aehnlichkeitspunkt A als Schnittpunkt von v1 mit z ;
Resultat: xA = 4 , yA = 4.
Empfehlung :Trage alle bisherigen Resultate in einem rechtwinkligen
Koordinatensystem ein !
Es geht nun darum, die noch fehlenden gemeinsamen Tangenten
u2 und v2 zu ermitteln.
u2 geht durch I; der Richtungswinkel von u2, d.h. der Winkel Phi
von u2 mit der positiven x-Achse ist doppelt so gross wie derjenige
von z, der mit phi bezeichnet sei. :
Phi = 2* phi
Wir berechnen die Steigung M von u2 aus der Steigung m =2 von
z mit der Formel
M = tan(2* phi) = 2 * tan(phi) / [1 – (tan(phi)^2] = 4/ (1- 4) = - 4/3 .
Damit erhalten wir für u2 die Gleichung
y = - 4 /3 * x + 13 /3 (beachte. u2 muss durch I gehen)
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Um die Steigung m der Tangente v2 zu finden, die durch A geht
legen wir um A einen Kreis k° vom Radius 2 und schneiden ihn mit
dem Kreis k2.
Beachte: dabei ist 2 der Abstand des Punktes A vom Punkt T(4/2),
dem Berührungspunkt der Tangente v1 mit k2 .
Gleichung von k°: (x – 4) ^ 2+ (y - 4)^2 = 4
Wir kennen bereits einen der Schnittpunkte, nämlich T(4/2)
den genannten Berührungspunkt der Tangente v1 mit k2.
Der andere Punkt S, durch den die gesuchte Tangente v2 geht,
hat die Koordinaten
xS = 12/5 , yS = 14/5 ; daraus
Steigung m von v2:
m =[14/5 - 4] / [12/5 - 4] = ¾
Gleichung von v2:
y = ¾ x + 1
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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