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Fizzy Frank
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 13:27: | 
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Benötige Lösungen und Erklärungen, weil ich morgen die Aufgabe vorrechnen muss!
Eine Urne enthalte n Kugeln mit den Nummern 1,2,...,n. Man entnimmt n-mal eine Kugel mit Zurücklegen.
a)Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man die 1 nicht?
b) Löse die Aufgabe zunächst für n=2;n=5 |
Justin
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 10:32: |
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Hallo Fizzy,
a)
wenn nach dem Ziehen die gezogene Kugel wieder zurückgelegt wird, ist die Wahrscheinlichkeit des Ziehens einer bestimmten Kugel bei jedem Durchgang immer wieder die Gleiche.
Bei n Kugel beträgt also die Wahrscheinlichkeit, beim ersten Ziehen eine ganz bestimmte Kugel zu ziehen
P(X=x) = 1/n
Die Wahrscheinlichkeit, diese bestimmte Kugel nicht zu ziehen ist dann entsprechend
P(X<>x) = 1 - 1/n
Angenommen, man hat beim ersten Ziehen nicht die 1 erwischt aber dafür beim zweiten Ziehen, so beträgt hierfür die Wahrscheinlichkeit:
P = (1 - 1/n) * 1/n = 1/n - 1/n²
Die Wahrscheinlichkeit des einmal nicht 1 ziehen wird also multipliziert mit der für das Ereignis, die 1 zu ziehen.
Führt man das ganze Experiment nun n-mal aus und will wissen, wie wahrscheinlich es ist, NIE die 1 zu ziehen, muss man also rechnen:
P = (1 - 1/n)^n
Und das Interessante daran:
Wenn man n immer größer wählt, konvergiert die Wahrscheinlichkeit gegen einen bestimmten Wert, nämlich:
P = 1/e = 0,367879
wobei e die Eulersche Zahl ist (2,718281828459...)
Aufgabe b) kannst Du ja nun allein ausrechnen :-)
Schönen Tag noch
Justin |
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