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Maik
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 10:59: | 
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Hallo ihr Mathematiker:
Ich soll folgende Funktion integrieren:
f(x)=1/((sin(x))^2*(cos(x))^4))
Danke im Vorraus |
Student ohne Zeit
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 11:31: |
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habe leider keine Zeit das Int. auszurechnen, das Ergebnis ist (laut Maple):
F(x)=(-1)*[1+4*cos(x)^2-8*cos(x)^4]/[3*sin(x)*cos(x)^3]
vielleicht hilft es weiter.
würde pauschal einen Ansatz mit partieller Integration vorschlagen.
mfg |
Marty (Marty)
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 31. Januar, 2002 - 13:55: |
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Ich würde folgenden Ansatz bieten:
Zunächst sin²x durch 1-cos²x ersetzen; und dann geeignet substituieren. Mal sehen, kommt ein Term im Nenner cos^4 und ein cos^6 vor... also eventuelle cos²x=u. Aber dann kommt wieder ein Sinus bei du/dx. Hmm... Vielleicht doch cos x=u. Naja, probiers mal aus. Hoffe, meine spontanen wirren Gedanken helfen ein wenig... |
H.R.Moser,megamath
| | Veröffentlicht am Freitag, den 01. Februar, 2002 - 08:14: |
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Hi Maik,
Ich löse Dein schönes Integral in Moduln.
Teilintegrale werden aufgebaut und am Schluss
ineinandergelegt.
1 Modul
U = int [1 / (cos x)^2 *dx ] = tan x (Grundintegral)
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2.Modul
V = int [1 / (cos x)^4 * dx] = int [{1 / [(cos x)^2} *{1 / (cos x)^2} *dx ]
Wir integrieren partiell:
V = tan x * 1/(cos x)^2 – int [ tan x * 2 sin x / (cos x)^3 *dx] =
tan x * 1 / (cos x)^2 – 2 * int [ (sin x)^2 / (cosx ) ^ 4 * dx ]
Zerlege (sin x ) ^ 2 in 1- (cos x) ^ 2, und schreibe weiter
(beachte, dass rechts das gesuchte Integral V auftaucht) :
V = tan x * 1 / (cos x)^2 - 2 * int [{ (1 - (cos x)^2 } / (cosx ) ^ 4 * dx ] =
sin x / (cos x)^3 - 2 * V + 2* int [1 / (cos x)^2 *dx ] , mithin :
3* V = sin x / (cos x)^3 + 2* int [1 / (cos x)^2 *dx ] , mit Modul I kommt:
V = 1/3* sin x / (cos x)^3 +2/3* tan x
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3.Modul
W = int [1 / (sin x)^2 *dx ] = - cotg x (Grundintegral)
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4.Modul
Das gesuchte Integral werde mit J bezeichnet .
J = int [{1 / [ (sin x)^2}* {1 / [ (cos x)^4} * dx ]
Wir beginnen mit partieller Integration:
J = - cotg x * 1 / (cos x)^4 + int [cotg x * 4 * sin x / (cos x ) ^ 5 * dx]
= - 1 / { sin x * (cos x )^3 } + 4 * int [ 1 / (cos x ) ^ 4 * dx ] =
- 1 / { sin x * (cos x )^3 } + 4 * V , ersetze V gemäss Punkt 2 !
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath. |
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