| Autor |
Beitrag |
    
Fern
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. März, 2000 - 20:05: | 
|
Hallo Valentin,
Man könnte natürlich die beiden Integrale ausrechnen und sehen ob das Resultat mit den rechten Seiten übereinstimmt.
Einfacher ist es aber die rechten Seiten zu differenzieren und überprüfen, ob das Resultat mit dem Integranden übereinstimmt.
1)
(x*ln(x)-x+C)'=
zuerst nach der Produktregel und dann die Summanden:
1*ln(x)+x*1/x-1=
= ln(x).....also der Integrand der linken Seite.
========
2)
[-ln(cosx)+C]'=
zuerst den Logarithmus differenzieren und dann mit der inneren Ableitung (der Ableitung des cos) multiplizieren:
= -1/cos(x)*(-sin(x))=
= +tan(x).....also wieder der gewünschte Integrand.
========== |
Anonym
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. März, 2000 - 21:40: |
|
Hallo Valentin,
schon mal daran gedacht, tan x als Quotienten aus
sin x und cos x darzustellen und dann mit allg. Substitution u = cos x zu integrieren ?
Ich hoffe, es klappt. |
Franz
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. März, 2000 - 22:04: |
|
Wie Fern oben schon erwähnte: Bei Richtigkeit der
Gleichungen müssen die Ableitungen der (rechten) Stammfunktionen gleich den Integranden sein. Eine bescheidenere Übung also. |
h.R.Moser,megamath.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 21. März, 2000 - 23:00: |
|
Hi Valentin,
Es sei mir eine grundsätzliche Bemerkung zu Deinen beiden Integralen gestattet:
Diese Integrale stehen als Musterbeispiele für Examensfragen bei mündlichen Prüfungen..
In meiner Laufbahn habe ich die folgende Situation sehr oft erlebt:
Die Examinatoren warten mit Spannung auf die Reaktion des Examinanden und erwarten folgendes
Bestmögliche Reaktion beim ersten Integral:
"Ich setze vor ln x eine 1 als Faktor hin und integriere partiell; das geht so
int (lnx dx) = int (1 * lnx dx) = x * ln x - int (x * 1 / x ) dx =x*lnx - int( dx)
= x*lnx -x +C "
Bestmögliche Reaktion beim zweiten Integral (darauf hat schon Anonym hingewiesen !)
Der Kandidat sagt: " es wäre toll, wenn im Zähler die Ableitung des Nenners stehen würde, denn ich weiss, dass dann das gesuchte Integral der Logarithmus des Nenners ist, somit:
int (tan x dx) = - int (- sin x / cos x dx) = - ln (cos x) + C
Zum Abschluss noch ein Beispiel , für welche beide Eselsbrücken zusammen zur Lösung führen:
int( arc tan x dx) = int ( 1 * arc tan x dx ) = x* arc tan x - int ( x / (1 + x^2)dx) = x * arc tan x - ½ * int ( 2 x / 1 + x^2) dx) = x arc tan x - ½ * ln ( 1 + x^2) +C
u.s.w.
Mit freundlichen Grüssen
H.R.
. |
Franz
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. März, 2000 - 11:06: |
|
Die Kunst des Integrierens ist nach meiner Lesart der Aufgabe ("beweisen Sie...") hier nicht notwendig. Wenn f'(x)=g(x), dann INTgdx=f. Oder? |
Fern
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 22. März, 2000 - 14:35: |
|
Wie gut dass meine Examenszeit längst vorüber ist!
Falls die Examinatoren als bestmögliche Reaktion eine Integration erwarten, dann sollten sie doch einfach fragen: "Berechne das Integral....".
Oder wird als "bestmöglich" angesehen, wenn man eine Aufgabe "am bestkompliziertesten" beantwortet? |
|
