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Tina
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 12:07: | 
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Brauche dringend Hilfe bei der Kurvendiskusion folgender Funktion:
ft(x)= (lnx)²+t*lnx
t=alle reelen Zahlen
außerdem soll der Graph für t=-1, t=0 und t=2 gezeichnet werden |
K.
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 18:45: |
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Hallo Tina
ft(x)=(lnx)²+t*lnx
Nullstellen: f(x)=0 <=> (lnx)²+t*lnx=0
<=> lnx*(lnx+t)=0
=> lnx+t=0 da lnx<>0 für alle x
<=> lnx=-t
=> x=e-t ist Nullstelle
Ableitungen:
f'(x)=2*lnx*(1/x)+t*(1/x) [da (lnx)'=1/x]
<=> f'(x)=(1/x)*(2lnx +t)
f"(x)=-(1/x²)*(2lnx+t)+(1/x)*2*(1/x)
=-(1/x²)*(2lnx+t)+(2/x²)
=(1/x²)(-2lnx-t+2)
=(1/x²)(2-t-2lnx)
Extrema: f'(x)=0
<=> (1/x)*(2lnx+t)=0
=> 2lnx+t=0
<=> 2lnx=-t
<=> lnx=-t/2
=> x=e-t/2
Wegen f"(e-t/2)=et*(2-t-2*ln(e-t/2))
=et(2-t-2*(-t/2))
=et(2-t+t)=2*et>0 => Max
Wendepunkte: f"(x)=0
<=> (1/x²)(2-t-2lnx)=0
=> 2-t-2lnx=0
<=> 2lnx=2-t
<=> lnx=(2-t)/2
=> x=e(2-t)/2
Mit 3. Ableitung überprüfen.
Um den Graphen für t=-1 usw zeichnen zu können, setzt du für t den entsprechenden Wert in die Funktionsgleichung ein; also
f-1(x)=(lnx)²-lnx
Dann Wertetabelle machen, außerdem kannst du die oben ermittelten Punkte zu Hilfe nehmen.
Sollte noch irgendwas unklar sein, dann Frage bitte gezielt nach einzelnen Punkten.
Mfg K. |
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