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mailo
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 29. Januar, 2002 - 09:45: | 
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also jetzt kapier ich gar nichts mehr.
Bestimmen Sie die Nullstellen, die lokalen Extremstellen und Wendestellen der Funktion f und zeichnen Sie ihren Graphen. Berechnen Sie die Steigungder Wendetangenten und zeichnen Sie diese.
a) f(x)=2x^3-6x+4
b) f(x)=1/3*x^3-x^2+x
das waere echt geil wenn mir da jemand bitte helfen koennte.
mailo |
Justin
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Januar, 2002 - 10:14: |
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Hallo mailo,
also zeichen musst du den Graphen schon selber, soweit solltest Du imstande sein.
a)
f(x) = 2x³ - 6x + 4
lokale Extremstellen:
f'(x) = 6x² - 6
0 = 6x² - 6
6 = 6x²
x² = 1
x1 = 1
x2 = -1
Also hat die Funktion an den Stellen x=1 und x=-1 jeweils lokale Extrema.
f''(x) = 12x
f''(1) = 12 => lokales Minimum für x=1
f''(-1) = -12 => lokales Maximum für x=-1
Nullstellen.
Für x³-Funktionen nutze ich das Tangentenverfahren.
x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)
x1 = x0 - (2x0³ - 6x0 + 4)/(6x0² - 6)
Ich nehme mal als Startwert x0=-3.
x1 = -3 - (2*(-3)³ - 6*(-3) + 4)/(6*(-3)² - 6)
x1 = -3 - (-32/48)
x1 = -7/3
x2 = -2,06
x3 = -2,002
Also scheint bei x=-2 eine Nullstelle vorzuliegen.
f(-2) = 2*(-2)³ - 6*(-2) + 4 = -16 + 12 + 4 = 0
Nun kann man eine Polynomdivision durchführen:
(2x³ - 6x + 4) : (x + 2) = 2x² - 4x + 2
-(2x³ + 4x²)
---------------
(-4x² - 6x + 4)
-(-4x² - 8x)
----------------
(2x + 4)
-(2x + 4)
----------------
0
Und die beiden anderen Nullstellen findet man nun durch die Lösung jener quadratischen Gleichung, die durch die Polynomdivision errechnet wurde:
2x² - 4x + 2 = 0
x² - 2x + 1 = 0
x = 1
Und x= 1 ist eine doppelte Nullstelle.
Die Funktion hat also an der Stelle x=1 sowohl ein Extremum als auch eine Nullstelle.
Last but not least die Wendestellen:
f''(x) = 12x
0 = 12x
x = 0
Also hat die Funktion an der Stelle x=0 eine Wendestelle.
Die Wendetangente bestimmt man aus dem Anstieg der Funktion für x=0 und aus der Verschiebung des Graphen entlang der Y-Achse.
Die Tangente hat die Gleichung t = mx + n
f'(x) = 6x² - 6
f'(0) = 6*0² - 6
f'(0) = - 6
t = -6
f(0) = 2*0³ - 6*0 + 4 = 4
Der Graph ist also für x=0 um 4 Einheiten entlang der Y-Achse verschoben.
n = 4
=> t = -6*x + 4
So, und das war's.
Die Aufgabe b) versuchst Du nun mal bitte allein :-)
Schönen Tag noch
Justin |
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